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Participants : Guy Cohen, Stéphane Gaubert, Jean-Pierre
Quadrat Une étude nouvelle a débuté cette année dont le but est
d'étudier des grands systèmes. Une première réflexion a commencé
sur l'aggrégation. Ce problème se ramène à l'étude des espaces
invariants d'un opérateur max-plus linéaire. Les espaces
invariants dans l'algèbre max-plus ont des structures complexes.
Dans la figure suivante, on peut voir l'image d'un opérateur de
rang 2 noté Im(B) (qui est un espace invariant) et une
fibration de l'espace par des objets de différentes formes. Cette
fibration correspond à la notion de noyau dans l'algèbre linéaire
usuelle ( 
).
Figure 1: Image et Noyau (max,+) en somme
directe
Malgré la complexité de la géométrie, il est possible de
trouver une forme explicite aux projecteurs linéaires. Etant
donné 
où B et
C sont des opérateurs linéaires de dimension finie tels
que les 
soient réduits à des
singletons pour tout x dans 
,
alors l'opérateur P joue le rôle du projecteur sur l'image
de B parallèlement au noyau de C de l'algèbre
classique. Sa forme est explicite est donnée par les
formules :
où 
[resp. (B /
A)] désigne le plus grand X solution de 
[resp. le plus grand X solution de
] (on sait calculer
explicitement 
et B /
A).
Ces résultats exposés dans [21] devraient permettre le développement d'une approche géométrique des systèmes linéaires max-plus dans l'esprit de l'étude faite par Wonham dans le cas classique.
Dans une première étape, les conséquences sur l'aggrégation de système dynamique ont été étudiées dans [38]. Dans ce même travail, les liens entre l'algèbre max-plus et la mécanique statistique ont été faits dans les cas les plus simples. Enfin, l'analogue max-plus des équilibres locaux permettant de décomposer la mesure invariante d'un réseau de file d'attente en produit de mesures invariantes de files d'attentes individuelles a été mis en évidence. On rejoint ici des travaux anciens faits à l'Inria sur les chaînes de Markov.
Ces travaux sur les grands systèmes max-plus se poursuivront
dans le cadre d'un projet Esprit appelé ALAPEDES, ayant démarré
cette année.
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