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Participants : Marianne Akian, Albert Shiryaev, Agnès Sulem,
Michael Taksar - Le problème ergodique en gestion de
portefeuille : Nous avons poursuivi l'étude de
problèmes de gestion de portefeuille avec coûts de transaction
dans le cas ergodique. Nous étudions la politique optimale
d'investissement d'un agent possédant un actif non risqué et
plusieurs actifs risqués modélisés par des processus de diffusion
log-normaux. Les transactions entre comptes entraînent des coûts
proportionnels au montant de la transaction et sont modélisés par
des contrôles singuliers. Il s'agit d'optimiser le taux moyen de
profit de la forme 
On a étudié l'existence, l'unicité et la régularité des solutions de viscosité de l'inéquation variationnelle (IV) ergodique associée. La résolution numérique de l'IV nous a permis d'obtenir la stratégie optimale de transaction, c'est à dire de déterminer les frontières entre les régions où il est optimal d'acheter, de vendre ou de laisser évoluer sans transaction chaque actif (voir [37] ).
- Détermination de la politique optimale de consommation
et d'investissement dans un modèle avec sauts : On
modélise le prix 
d'une action par un
processus log-normal et l'on cherche à maximiser
où 
est un processus de
contrôle à valeur dans [0,1] représentant la part
d'investissement pour accroitre la production. La part
est dédiée à la
consommation. 
est un processus de
comptage de la forme 
avec
où l'intensité est de la forme
avec
On peut résoudre ce problème de manière explicite dans le cas où le prix est une fonction déterministe.
On étudie le cas stochastique par des techniques d'optimisation dynamique.
- Optimisation des flux de dividendes : Nous étudions une extension du modèle de Shepp et Shiryaev : il s'agit de d'optimiser le flux de dividendes
versés par une sociéte dont le capital évolue selon l'équation différentielle stochastique :
où le processus 
, positif et
croissant, caractérise la stratégie de paiement des dividendes
par la compagnie, et le temps d'arrêt 
correspond à l'atteinte d'un seuil de perte intolérable
entrainant l'arrêt de ses activités.
On étudie la politique optimale par l'étude de l'équation de la Programmation Dynamique associée.
- Le modèle de Black and Sholes avec une seule
transaction : Le problème est la couverture d'une
option dans le cas où un seul ajustement de portefeuille n'est
autorisé sur la période considérée. Le marché est incomplet ; on
ne peut plus dupliquer l'option. L'objectif est de déterminer la
stratégie qui permet d'obtenir à la date déchéance de l'option,
un portefeuille dont la valeur est le plus proche de la valeur de
l'option.
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