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Participants : Jean-Baptiste Pomet, Claire Leleu
Mots-clés : automatique non linéaire, feedback non linéaire
Une transformation par retour d'état statique d'un système dynamique contrôlé est une reparamétrisation (non singulière) des commandes, dépendant de l'état. Une transformation par retour d'état dynamique d'un système dynamique contrôlé consiste à effectuer une extension dynamique (augmentation de l'état et attribution d'une dynamique aux nouveaux états) suivie d'une transformation par retour d'état statique sur le système augmenté. Du point de vue des problèmes de commande, l'intérêt de telles transformations, dans le cas où le système obtenu possède une structure plus exploitable que l'original, est qu'une commande permettant de satisfaire un certain objectif sur le système transformé peut être utilisée pour commander le système original en incluant l'extension dynamique dans le contrôleur.
Évidemment, un cas favorable est celui où le système transformé est linéaire. Le problème de la linéarisation dynamique est celui de trouver des conditions explicites sur un système pour qu'existe une transformation par retour d'état dynamique le rendant linéaire. Ce problème a été très étudié ces dix dernières années. Des travaux récents (M. Fliess, J. Lévine, P. Martin, P. Rouchon) ont montré qu'un feedback dynamique linéarisant existe si et seulement si il existe un certain nombre de fonctions de l'état et de dérivées de la commande qui ne sont liées par aucune équation différentielle, et qui « paramètrent toutes les trajectoires ». Cette propriété est appelée platitude différentielle, et les fonctions en question fonctions linéarisantes (ou sorties plates ). Ceci donne un intérêt nouveau au problème, car ces fonctions permettent de simplifier certains problèmes comme la planification de trajectoires. C'est aussi une manière plus systématique de s'attaquer au problème de la linéarisation dynamique : rechercher des fonctions linéarisantes (et des conditions qui assurent leur existence).
Une collaboration avec le Laboratoire d'Automatique de Nantes avait permis de mettre en évidence, sous le nom de forme de Brunovský infinitésimale, l'existence de formes différentielles, non forcément intégrables, qui vérifient exactement la propriété que l'on attend des différentielles des fonctions linéarisantes lorsqu'elles existent, hormis qu'elles ne fournissent pas de fonctions si elles ne sont pas intégrables. Cela permet de formuler la recherche de sorties linéarisantes comme celle de transformations sur les familles de formes différentielles qui préservent ces propriétés et, de plus, les rendent intégrables. Un cadre de géométrie différentielle de dimension infinie (espaces de jets infinis) a été développé pour rendre plus géométriques les notions de feedback dynamique et de fonctions linéarisantes (Voir : Jean-Baptiste Pomet, A Differential Geometric Setting for Dynamic Equivalence and Dynamic Linearization, et Eduardo Aranda-Bricaire, Claude Moog, Jean-Baptiste Pomet, An Infinitesimal Brunovsky Form for Nonlinear Systems with Applications to Dynamic Linearization, respectivement pages 19-33 et pages 319-339 de B, Jakubczyk, W. Respondek et T. Rzezuchowski éditeurs, Geometry in Nonlinear Control and Differential Inclusions, Banach Center Publications, vol. 32, Polish Academy of Sciences, Warszawa, 1995).
Cette approche a été utilisée pour traiter le cas des systèmes
dans 
(état de dimension 4)
à deux commandes, avec une dynamique affine en ces commandes (ce
sont les premières dimensions non triviales). On parvient ainsi à
donner des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence
de fonctions linéarisantes dépendant de l'état et de la commande
(Jean-Baptiste Pomet, On Dynamic Feedback Linearization of
Four-dimensional Affine Control Systems with Two Inputs, à
paraître dans Europ. S.A.I.M. C.O.C.V.).
Il est à noter que, dans les preuves de ces conditions, on est amené à utiliser un logiciel de calcul formel (Maple) pour conduire les calculs. Ceci a été souligné dans la communication [15].
Le stage de Maîtrise de Claire Leleu avait pour objet l'écriture d'un package Maple destiné à tester les conditions obtenues.
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