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Élasticité non linéaire en grandes déformations

L'algorithme de type Newton est un outil efficace pour résoudre un problème d'élasticité non linéaire en grands déplacements. Pour les problèmes 3D, des éléments finis héxaédriques Q2 sont utilisés. Si nécessaire, la condition d'incompressibilité est traitée par des techniques de pénalisation. L'utilisation d'éléments finis de degré deux induit un coût important pour le calcul des matrices élémentaires et les systèmes obtenus sont de grande taille. Pour les résoudre efficacement, un algorithme standard de décomposition de domaines peut être utilisé pour le problème linéarisé qui apparaît à chaque itération de l'algorithme de Newton. En partant de l'hypothèse que la matrice tangente ne varie pas beaucoup d'une itération à l'autre, on propose de garder le même préconditionneur pendant plusieurs itérations de l'algorithme de Newton. Une telle approche nécessite une légère modification dans le calcul du préconditionneur. Dans ce cas, il n'est plus nécessaire d'assembler et de factoriser la matrice de Neumann (une par sous-domaine) ni la matrice du problème grossier. Le gain ainsi obtenu est important même si le nombre d'itérations augmente légèrement.

Afin de rendre cet algorithme robuste et apte à résoudre des problèmes fortement hétérogènes et très mal conditionnés, plusieurs améliorations ont été apportées. D'une part, un algorithme de continuation a remplacé l'algorithme de Newton standard. D'autre part, pour la résolution par décomposition de domaines, un algorithme de type GMRES remplace le gradient conjugué. Cette dernière modification permet de prendre en compte le cas de très grandes déformations pour lesquelles la matrice tangente perd parfois son caractère défini positif.