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La motivation de cette étude repose sur des contacts suivis avec le Groupe Chimie et Céramiques de Thomson LCR. Ce groupe met au point une pastille piézoélectrique, dite ``suspension active'', qui incorpore les trois fonctions fondamentales : capteur, boucle de contre réaction et actionneur. La modélisation numérique d'une telle pastille devrait compléter et conforter la modélisation expérimentale réalisée par Thomson. Notre effort, cette année, a porté sur le contrôle vibratoire d'une poutre en flexion.
La première partie de ce travail consiste en la mise en équations du problème : le modèle de ``suspension active'' utilisé comprend un empilement, parfaitement collé, d'un capteur piézoélectrique, d'un amortisseur visco-élastique et d'un actionneur piézoélectrique. Cet empilement est lui-même parfaitement collé à l'extrémité d'une poutre, encastrée à l'autre extrémité et soumise à une densité linéique d'effort normal. D'un point de vue mécanique, chaque composant de l'empilement est modélisé par une poutre travaillant en traction-compression. D'un point de vue électrique, l'actionneur est relié au capteur par une boucle de contre-réaction, ou ``feedback''. A partir de résultats d'automatique, nous nous sommes attachés à identifier cette contre-réaction en construisant une tension électrique de commande de l'actionneur qui soit à la fois stable, robuste et optimale vis-à-vis d'un certain critère.
Nous écrivons tout d'abord les équations du problème sous la
forme d'une représentation d'état, à l'aide d'une décomposition
du vecteur déplacement sur la base des vecteurs propres de la
structure couplée ``poutre/suspension active''. Puis, nous
construisons une procédure de commande minimisant l'énergie
totale (cinétique, de déformation et électrique) de la structure,
mise au préalable sous la forme d'une critère quadratique. Des
simulations numériques, effectuées avec le logiciel Scilab,
montrent alors l'efficacité d'une telle procédure de commande :
les oscillations de la poutre sont amorties rapidement.
La second partie de ce travail propose une étude sur l'influence de l'emplacement de la ``suspension active''. En effet, nous montrons que la position de ce système de suspension est un paramètre important dans la construction de la tension électrique de commande. Pour cette étude, nous nous sommes intéressés au problème d'une poutre encastrée à une extrémité, simplement appuyée au deux tiers de sa longueur et équipée d'une ``suspension active'' entre l'encastrement et l'appui simple. Utilisant la même démarche de construction que dans la partie précédente, nous trouvons la position optimale de la suspension pour amortir les vibrations de l'extrémité libre de la poutre.
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