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Étude de controlabilité exacte et approchée pour les problèmes de poutres minces

Sur un modèle de piézoélectricité dynamique, nous avons :

• établi des résultats de contrôlabilité exacte et approchée;
• effectué la simulation numérique correspondante

Plus précisément :

i)

Contrôlabilité exacte

Nous considérons le modèle tridimensionnel piézoélectrique pour lequel nous obtenons un résultat d'existence, d'unicité et de régularité. Nous montrons ensuite que l'on peut, par un contrôle frontière en déplacement et en potentiel, conduire le système d'un état initial donné en déplacement et en vitesse à un état final ; ceci, au bout d'un certain temps T qui est fonction des caractéristiques du matériau et de sa géométrie.

ii)

Contrôlabilité approchée

Nous considérons un modèle monodimensionnel de poutre piézoélectrique occupant un intervalle [0,L] de . Les inconnues sont le déplacement mécanique u=u(x,t), le potentiel électrique , x et t étant respectivement les variables d'espace et de temps. On suppose que le matériau est encastré, à l'extrémité x=0 et que l'extrémité x=L est libre de contrainte. Le potentiel électrique est supposé nul en x=L. On établit que le système de la piézoélectricité est contrôlable au sens suivant : si le temps de contrôle T est assez grand et si on agit sur le système par le potentiel électrique appliqué à l'extrémité x=0 du matériau, alors le déplacement mécanique et le potentiel électrique sont approximativement contrôlables ; c'est à dire que, partant de conditions initiales , approche au sens d'une certaine norme, n'importe quel état final ``admissible'' . Le résultat est établi à l'aide de la méthode HUM introduite par J.-L. Lions. Elle s'articule autour d'une inégalité dite inverse, qui est une majoration de l'énergie du système. On utilise la méthode des multiplicateurs pour obtenir cette majoration. Nous résolvons le problème en minimisant une fonctionnelle d'inconnue v(t) qui est un critère dans lequel les conditions de contrôlabilité approchée ont été prises en compte par pénalisation. Nous utilisons une méthode de gradient conjugué pour la résolution numérique.

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