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Schémas aux différences finies d'ordre élevé pour l'équation des ondes. Participants : Patrick Joly En collaboration avec L. Anné (SIMULOG) et Q. Tran (IFP), nous avons écrit un article théorique sur la consruction et l'analyse de schémas aux différences finies d'ordre élevé pour l'équation des ondes monodimensionnelle. Nous avons mis au point une démarche originiale fondée sur l'étude directe de la relation de dispersion du schéma, ce qui permet une construction explicite de schémas de précision arbitraire tant en temps qu'en espace. Cette approche débouche également sur des résultats théoriques relatifs à la condition de stabilité ou aux propriétés des courbes de dispersion. Cet article semble clore le sujet au moins dans le cas 1D [21].
Eléments finis 
conformes d'ordre
élevé et condensation de masse Participants : Frédéric
Hannoyer, Patrick Joly, Michel Kern Ces recherches se situent
dans la continuité de la thèse de N. Tordjman dans le cas de la
dimension 2. Rappelons que ces travaux sont en relation étroite
avec la notion de formule de quadrature symétrique dans un
triangle ou un tétraèdre et que les constructions effectives de
ces éléments font largement appel au calcul formel (MAPLE). Le
cas de la dimension 3, plus délicat, a été abordé à l'occasion du
stage de F. Hannoyer (Ecole Polytechnique). Un élément fini de
type P2 a ainsi pu être construit. Ce stage a été l'occasion
d'ébaucher une théorie assez générale et de proposer une démarche
relativement systèmatique pour la recherche conjointe d'espaces
de polynômes et de formules de quadrature en vue de l'obtention
de la condensation de masse avec une précision donnée. On a ainsi
pu construire un élément de type P4 en dimension 2 et celle d'un
élément de précision P3 en dimension 3. Par ailleurs, Michel Kern
(Projet Estime) s'intéresse à la parallélisation des algorithmes
issus de l'utilisation de tels éléments.
Eléments finis non conformes Participants : Gary Cohen, Peter Monk
Les études réalisées jusqu'ici concernent les méthodes conformes. G. Cohen et P. Monk abordent maintenant celle des éléments non conformes ce qui est susceptible de présenter un intérêt spécifique dans la perspective d'un couplage avec des conditions absorbantes d'ordre élevé, problème qui reste encore largement ouvert. La difficulté consiste à trouver des formules de quadrature qui permettent d'obtenir la même précision sur le calcul d'intégrales de volume et d'intégrales de surface. Les éléments quadratiques et cubiques envisagés jusqu'à présent se sont malheureusement soldés par un échec.
Modélisation numérique de la propagation d'ondes en milieu élastique fissuré Participants : Eliane Bécache, Gary Cohen, Francis Collino, Patrick Joly, Chrysoula Tsogka Nous nous intéressons à l'application de la méthode des domaines fictifs pour traiter des problèmes de diffraction d'ondes élastiques par un obstacle ou une fissure en milieu anisotrope. Cette méthode permet de mailler de manière indépendante le domaine de calcul (maillage structuré) et la fissure, et donc de pouvoir tenir compte de géométries de fissures complexes. Elle allie donc d'une part les avantages et la simplicité d'un calcul de type différences finies (grâce au maillage structuré) et d'autre part la possibilité de traiter des milieux anisotropes. Nous avons implémenté cette méthode dans le cas d'un modèle scalaire. Ceci est illustré par la figure 1.
Figure 1: Domaines fictifs pour la diffraction
par une fissure Y en acoustique 2D
L'utilisation de cette méthode nécessite de considérer la condition aux limites posée sur l'obstacle comme une condition naturelle. Dans le cas de la condition de surface libre imposée sur la fissure cela nécessite donc que la contrainte soit une des inconnues du problème et donc de choisir soit une formulation en contraintes soit une formulation mixte vitesses-contraintes. Nous avons opté pour ce second choix car pour l'application qui nous intéresse, il est utile de disposer du champ des vitesses. La formulation mixte est de plus bien adaptée à l'utilisation des couches absorbantes PML afin de traiter efficacement les bords extérieurs du domaine de calcul (voir des exemples dans http://www-rocq.inria.fr/~ collino). Ces couches permettent de pallier l'absence de conditions aux limites absorbantes d'ordre élevé en élastodynamique.
La difficulté réside dans la construction d'espaces d'éléments
finis pour l'espace fonctionnel 
,
c'est à dire des tenseurs symétriques de 
à divergence dans , qui permettent de
faire la condensation de masse, indispensable pour obtenir un
schéma explicite en temps. Nous avons construit un nouvel élément
fini rectangulaire d'ordre 2 pour les équations en milieu
anisotrope. Cet élément est en outre susceptible de se
généraliser facilement aux ordres supérieurs. L'étude de la
dispersion de ce schéma révèle une précision à l'ordre 2.
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