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Filtres arithmétiques

Participant : Olivier Devillers

Mots-clés : précision numérique, algorithme robuste

L'hypothèse irréaliste d'une arithmétique opérant sur des nombres réels, qui est largement utilisée dans la conception des algorithmes géométriques, a été sérieusement remise en question ces dernières années [20]. Un prédicat géométrique consiste généralement en l'évaluation du signe d'une expression algébrique. Dans la plupart des cas, un calcul arrondi produit un résultat fiable, mais parfois les erreurs d'arrondi peuvent rendre l'algorithme inutilisable. Le calcul arrondi peut produire un signe incorrect seulement si la valeur absolue de l'expression algébrique est plus petite qu'une certaine valeur (petite), qui est l'erreur maximale possible introduite lors de l'évaluation de l'expression. Ce seuil dépend de la structure de l'expression et de l'arithmétique utilisée par l'ordinateur, en supposant que les opérandes ne sont pas entachés d'erreur. Une paire (calculateur de l'expression, seuil) est un filtre arithmétique, auquel il faut adjoindre une seconde méthode de calcul, exacte celle-là, en cas d'échec de la certification.

En parallèle avec notre travail sur les méthodes exactes de calcul des déterminants (voir section 3.2.3 ) nous avons développé une technique générale pour évaluer l'efficacité d'un filtre arithmétique [40]. L'analyse consiste dans l'évaluation du seuil et de la probabilité d'échec du filtre. Pour illustrer cette approche, nous analysons deux prédicats importants, ceux de localisation par rapport à un hyperplan ou une hyper-sphère, sous l'hypothèse que les points définissant l'objet soient choisis avec une probabilité uniforme dans la sphère ou le cube unité. Nous montrons que la probabilité que la valeur absolue du déterminant correspondant soit plus petite que V (V petit) est bornée par : pour la localisation par rapport à un hyperplan, pour un cercle en dimension 1 (cas d'école !), pour un cercle en dimension 2 et pour une sphère en dimension supérieure. Les constantes sont petites et leurs valeurs sont données dans l'article.

Travail effectué en collaboration avec F. Preparata, université de Brown.

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