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Participants : Jean-Daniel Boissonnat, Elena Degtiariova-Kostova
Mots-clés : commande optimale, planification de trajectoire
Les plus courts chemins de courbure bornée sont constitués de
lignes droites et d'arcs de cercle et la courbure le long de ces
chemins n'est pas continue. Dans le but d'obtenir des chemins à
courbure continue, nous considérons le problème de trouver les
trajectoires les plus courtes joignant deux points dans
, la dérivée de la
courbure étant majorée par 1, les angles tangents et les
courbures du départ et de l'arrivée étant donnés, l'angle tangent
et la courbure de la trajectoire étant continus.
On sait (cf. rapport d'activité 1995) que la trajectoire
optimale est formée de segments de droite et d'arcs de clothoïde
(dans un système de coordonées commode, une clothoïde est donnée
par les intégrales de Fresnel 
, 
). Nous
avons montré cette année que, si la distance entre les positions
initiale et finale est plus longue que 
, les trajectoires optimales génériques sont
irrégulières, c'est-à-dire que la fonction de contrôle a une
infinité de points de discontinuité.
Un modèle encore plus réaliste dans le contexte de la
robotique a également été étudié : on cherche à caractériser
les trajectoires optimales en temps lorsque l'accélération et la
dérivée de la courbure sont bornées. Des résultats préliminaires
montrent que chaque trajectoire extrémale est une courbe
formée de segments de
droite de même direction 
et
d'arcs de courbe dont la courbure varie linéairement 
(où t est le temps) et le point bouge le
long de chaque trajectoire optimale avec la vitesse linéaire par
morceaux (chaque morceau est de la forme 
où A est la borne sur la valeur absolue de
l'accélération). On étudie les formes possibles de jonction
d'arcs de courbe avec la courbure linéaire et de segments de
droite et on obtient que, si une trajectoire optimale contient
mais n'est pas réduite à un segment de droite, alors :
1) le long de chaque trajectoire optimale le point bouge avec la vitesse linéaire par morceaux de l'aspect2) la courbe optimale ne contient qu'un segment de droite,
3) si pour une courbe optimale le point bouge le long du segment de droite dans la direction
, alors cette trajectoire optimale contient un nombre infini d'arcs joints de courbe avec la courbure linéaire
Travail mené en collaboration avec V.P. Kostov, Laboratoire de mathématiques de l'université de Nice-Sophia Antipolis.
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