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Plus courts chemins de courbure bornée

Participants : Jean-Daniel Boissonnat, Subir Ghosh, Sylvain Lazard

Mots-clés : planification de trajectoire Le calcul d'un plus court chemin de courbure bornée en présence d'obstacles dans le plan est un problème important en planification de trajectoires de robots mobiles et en CAO. Plus précisément, il s'agit, étant donné des configurations (c'est-à-dire des positions et des orientations) initiale et terminale, et un ensemble d'obstacles dans le plan, de calculer un plus court chemin joignant ces deux configurations, évitant les obstacles et tel que la courbure de la trajectoire soit majorée par 1 en tout point où elle est définie. Malgré de nombreux travaux, on ne connait que des algorithmes approchés ou heuristiques pour ce problème. Nos travaux prolongent les travaux des années précédentes où nous avions caractérisé ces trajectoires en l'absence d'obstacles.

Le problème général paraissant encore hors de portée, nous nous sommes intéressés cette année au cas où les obstacles sont eux-mêmes de courbure bornée. Sous cette hypothèse, nous avons proposé un algorithme exact et polynomial. C'est le premier algorithme exact et polynomial qui résoud une instance non triviale du problème général [16]. Si les obstacles ne sont pas de courbure bornée, pour pouvoir appliquer l'algorithme ci-dessus, on peut chercher à entourer chacun d'eux par une courbe de courbure bornée et de longueur minimale. Ces courbes, convexes, sont appelées les enveloppes convexes de courbure bornée des obstacles. Plus généralement, on a étudié le calcul de l'enveloppe convexe de courbure bornée d'un ensemble de points du plan. Si le rayon du plus petit disque contenant est supérieur ou égal à 1, une telle enveloppe est unique. Son calcul se ramène à un problème d'optimisation convexe ou à la résolution d'un ensemble de systèmes algébriques [15].

Dans le but d'approcher le problème général, nous avons également proposé un algorithme linéaire pour calculer un chemin convexe de courbure bornée dans un polygone simple. On montre que la longueur d'un tel chemin n'excède pas deux fois la longueur du chemin optimal si celui-ci est lui-même convexe.

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