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Développement au second ordre de fonctions
convexes

  Participants : Claude Lemaréchal, François Oustry, Claudia Sagastizábal

1) Nos travaux des années précédentes sur ce sujet ont révélé un objet important d'analyse convexe : le -lagrangien (voir [29] ). Sans entrer dans les détails, il s'agit d'une fonction intégrant les effets du second ordre dans le sous-espace normal au sous-différentiel. Son usage permet par exemple de définir des algorithmes d'optimisation conceptuels, à convergence superlinéaire.

2) Dans le cas d'un simple problème de programmation mathématique (à données régulières), le -lagrangien coïncide avec le lagrangien ordinaire dans le sous-espace tangent aux contraintes actives. Avec R. Mifflin (Washington State Univ.), nous avons étudié le cas d'une fonction max (d'un nombre fini de fonctions régulières). Nous avons pu dégager une condition de qualification minimale assurant cette propriété de coïncidence, le -lagrangien possédant alors un Hessien. Ceci permet d'interpréter les méthodes de programmation quadratique successive, qu'on espère ainsi généraliser à l'optimisation non différentiable. L'article correspondant est quasi-terminé : voir ([31] ).

3) Un autre cas important est la valeur propre maximale , en tant que fonction (convexe) de la matrice symétrique A. Nous avons établi dans [32] que le -lagrangien est alors de classe . De plus nous retrouvons l'approche géométrique introduite dans les années 80 par Overton. En effet, les dérivées du -lagrangien sont les dérivées de le long d'une sous-variété : l'ensemble où a une multiplicité fixée. Enfin nous utilisons un développement au second-ordre du -Lagrangien pour définir un algorithme de type programmation quadratique successive pour minimiser sur un sous-espace affine (problème classique en programmation semidéfinie positive).

4) Dans un autre ordre d'idées, nous généralisons des résultats obtenus dans les années 80 par C. Lemaréchal et J. Zowe d'une part, et d'une manière indépendante par J-B. Hiriart-Urruty. Nous montrons dans [33] que, pour une fonction convexe f, le quotient horizontal et le quotient vertical ont des comportements équivalents lorsque . L'approche par développements verticaux est parfois plus facile que l'approche horizontale et permet ainsi d'avoir une information du second ordre sur la fonction convexe, directement utilisable dans une perspective algorithmique. C'est le cas de la fonction valeur propre maximale, pour laquelle nous disposons d'une description précise du sous-différentiel approché.

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