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Participants : Bernard Delyon, Anatoli Iouditski, Jean-Luc Le Calvez, Serge Lepotier
Les algorithmes récursifs sont étudiés sous leur forme générale
dans un cadre stochastique. 
est ici
l'estimée du vrai paramètre 
(inconnu)
à l'itération n, 
est
l'observation, de caractère aléatoire stationnaire, et
est un gain décroissant
ou constant. est la solution de
l'équation 
.
Les résultats de convergence obtenus récemment dans le projet
[9] pour ce type d'algorithmes
à gain décroissant ont permis d'étudier de nouveaux algorithmes
d'estimation récursive de processus ARMA et de montrer le bon
comportement d'algorithmes jusqu'ici inexplorés; il sont
particulièrement efficaces quand on les couple avec la méthode de
moyennisation de Polyak-Ruppert (la vitesse de convergence de
vers est alors optimale). Si l'ordre de l'ARMA est
surestimé, l'ensemble des points stationnaires (solutions
de , i.e., les filtres qui minimisent l'erreur de
prédiction) devient une variété différentielle, et des techniques
particulières doivent être utilisées pour prouver la
convergence.
L'étude des algorithmes à gain constant a suscité des résultats sur les produits de variables aléatoires non-indépendantes avec des conséquences en théorie des grandes déviations [63].
Les algorithmes stochastiques dans le cas où 
est de grande dimension sont également un sujet de
préoccupation intéressant. L'analyse de ces méthodes permet de
résoudre le problème de fusion fonctionnelle suivant : on
possède N observations 
d'une
fonction f ; ces observations sont bruitées (bruit
) et positionnées
aléatoirement (points 
); il s'agit de
trouver le meilleur estimateur de f comme combinaison
convexe de M fonctions 
données à
l'avance (M est très grand et la famille 
est fortement non-orthogonale). Nous proposons deux
algorithmes qui donnent des approximations de 
(la meilleure combinaison convexe) avec une vitesse
``minimax'', qui ne peut être améliorée de façon significative
[64]. Cette technique est
appliquée à deux problèmes spécifiques : la prédiction pour un
modèle non-linéaire et la reconstruction de fonctions de la
classe de Barron.
Une étude d'une variante de l'algorithme EM (Expectation Maximisation), l'algorithme SAEM (Stochastic Approximation EM) est en cours. Ce nouvel algorithme permet de traiter les situations où la partie Expectation de l'EM (calcul d'une moyenne conditionnelle) ne peut être réalisée exactement, mais peut être approchée par une méthode de type Monte-Carlo. Puisque dans la partie Expectation de l'algorithme EM, une estimation exacte à chaque étape n'est pas nécessaire, nous pouvons espérer obtenir d'aussi bons résultats à un coût infiniment plus faible. C'est le cas. Nous nous intéressons à la version de type approximation stochastique de cet algorithme, particulièrement économique.
Une étude est en cours pour la conception d'algorithmes d'optimisation distribués. L'application concernée est l'allocation dynamique de ressources radio pour les réseaux de téléphones mobiles. Il s'agit d'un problème d'optimisation NP complet pour lequel nous utilisons une approche stochastique. Les caractéristiques du réseau (absence de synchronisation, étendue spatiale) imposent la recherche d'algorithmes décentralisés, c'est-à-dire, éclatés en sous-algorithmes agissant chacun sur un faible sous-ensemble des paramètres à optimiser.
Une collaboration avec le projet Temis, dans le cadre de la thèse de Mariette Maurizot, se poursuit dans le cadre de l'utilisation de méthodes statistiques pour les algorithmes d'estimation adaptatifs pour une application concernant l'analyse de mouvement fluide 2D.
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