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Approximation en ondelettes

Participants : Albert Benveniste, Bernard Delyon, Anatoli Iouditski, Qinghua Zhang

Nous cherchons à identifier une fonction inconnue à partir de l'observation de ses valeurs, éventuellement bruitées, en un nombre fini de points. La décomposition en ondelettes offre un outil d'analyse et permet la réalisation de cet objectif ; nous obtenons alors des algorithmes non linéaires optimaux dont la mise en oeuvre est d'un coût raisonnable en petite dimension (1 ou 2). Nous nous intéressons désormais à des problèmes d'estimation en plus grande dimension et à leur insertion dans les algorithmes d'estimation de systèmes dynamiques.

Le réseau d'ondelettes, développé depuis quelques années par le projet, utilise des ondelettes non-orthogonales pour identifier des systèmes dont l'entrée est de dimension élevée. Il s'inspire des méthodes neuronales et de l'analyse de régression ; sa mise en oeuvre prend en compte le caractère disséminé des observations, s'il y a lieu, pour réduire la complexité de calcul liée à la dimension de l'entrée. Actuellement, le réseau d'ondelettes est intégré dans le développement d'une boîte à outils pour l'identification non linéaire, conjointement mené avec des collègues de l'Université de Linköping (Suède).

Dans l'application des méthodes non-paramétriques aux problèmes concrets, on se voit souvent confronté aux difficultés suivantes : une « mauvaise » répartition des points d'observations (présence de trous) et la dimension élevée du problème. Pour gérer ces problèmes, on doit modifier les algorithmes « classiques » d'estimation non-paramétrique pour les rendre stables et efficaces [34]. Une telle modification a été réalisée dans le cadre de l'estimation pour des modèles AR non-paramétriques (non-linéaires).

Un autre problème intéressant est l'estimation des intervalles de confiance d'un estimateur non-paramétrique adaptatif. Nous utilisons les méthodes minimax d'estimation des normes fonctionnelles pour obtenir des intervalles de confiance ``globaux'' pour des estimateurs par ondelettes et par polynômes locaux.