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Analyse de schémas implicites

Participants : Marie-Claude Ciccoli (université de Rouen), Jean-Antoine Désidéri,

Dans la méthode des résidus corrigés, on considère deux approximations discrètes de la même équation aux dérivées partielles. La première, , est simple à inverser mais généralement peu précise. Par exemple, lorsqu'on discrétise une équation d'advection pure par un schéma (décentré) du premier ordre, on aboutit à un système linéaire à diagonale dominante que l'on peut facilement résoudre par relaxation itérative. La seconde, , est de la précision souhaitée, mais son inversion beaucoup plus délicate. On construit alors un algorithme itératif implicite dans lequel on résout une suite de problèmes dans lesquels on est amené à inverser tout en obtenant l'inverse de à la limite. Dans la littérature, de nombreux autres types de combinaison ont été utilisés et notamment la combinaison différences finies/approximation spectrale.

Les propriétés essentielles de convergence de ces schémas ont été établies précédemment avec le Prof. P.-W. Hemker du CWI dans un cadre représentatif des équations d'Euler. Plus récemment, en collaboration avec M.-C. Ciccoli, on a examiné pour le modèle hyperbolique linéaire des préconditionneurs plus généraux faisant intervenir des approximations centrées dont on a démontré les potentialités théoriques supérieures [33]. On a aussi proposé des algorithmes itératifs adaptés pour l'inversion dans la phase linéaire. Enfin, on a entamé une expérimentation numérique de ces algorithmes dans le cadre des équations d'Euler [12].