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Mécanique statistique à l'équilibre

Participant : Paolo Buttà

Mots-clés : mécanique statistique

Travail en collaboration avec Pierre Picco (Centre de Physique Théorique-CNRS, Luminy). Le séjour post-doctoral de Paolo Buttà s'inscrit dans l'action européenne HCM « System Identification » (coordonné par Van Schuppen, CWI ).

Nous analysons dans un premier temps le modèle classique d'Heisenberg avec longueur d'interaction grande. C'est une simplification du modèle de systèmes magnétiques réels : à chaque site x du réseau d-dimensionnel est associée une « variable vectorielle de spin » , , qui s'interprète physiquement comme la magnétisation microscopique locale (la « dimension interne » ). L'énergie d'une configuration de spin est définie à l'aide d'un potentiel d'interaction pair de type « Kac » : , où J(s) est une fonction régulière, positive et à support compact.

On s'intéresse au comportement thermodynamique (volume infini) du système lorsque la longueur d'interaction, , est grande.

La première étape consiste à démontrer un théorème de type « Lebowitz-Penrose », en prouvant que le diagramme de phase (de l'énergie libre vs. la magnétisation à température fixe) converge, quand et pour toute température, vers le diagramme de phase de la théorie de Van der Waals, tenant compte de la « règle de Maxwell ». On limite alors l'analyse au modèle d'Heisenberg plan (i.e. ). Dans ce cas, pour tout , des transitions de phase apparaissent seulement en dimension .

Dans une seconde étape, on caractérise les configurations typiques dans l'état d'équilibre (unique) du système à volume infini lorsque d=1 (et, si possible, d=2), est petit mais fini et la température est sous la valeur critique de la théorie de Van der Waals.

En dimension , il est connu qu'il y a des transitions de phase pour tout , c'est à dire il existe une température critique . On espère que converge, lorsque , vers la température critique de Van der Waals et que l'ensemble du diagramme de phase est qualitativement le même à (et petit) comme dans la théorie limite. Ce dernier point est encore hors de portée.

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