Projet : ALGO

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Analyse d'algorithmes

Participants : Philippe Dumas, Philippe Flajolet, Michèle Soria.

Mots clés : analyse d'algorithmes, analyse combinatoire, combinatoire analytique, structures aléatoires discrètes, arbres d'index, algorithmes de hachage, algorithmes géométriques, lois limites .

Résumé :

L'analyse d'algorithmes vise à une quantification précise des principaux algorithmes et structures de données de l'informatique. Elle repose sur une étude approfondie de l'aléa discret. Une approche originale développée au sein du projet se fonde sur la ``combinatoire analytique''. Les applications en sont les principaux problèmes de recherche de l'information dans de grands volumes de données et l'algorithmique de la communication.

 L'analyse d'algorithmes ou de structures de données dépend très étroitement d'une évaluation et d'une quantification précise de l'aléa discret. Il s'agit en effet de caractériser le comportement des principaux paramètres de structures combinatoires d'arbres, de mots, de graphes ou d'allocations aléatoires. Dans ce domaine, les travaux du projet  ALGO s'appuient sur une approche originale fondée sur

• les méthodes symboliques en analyse combinatoire qui permettent de disposer de méthodes systématiques de mise en équation par séries génératrices ;
• les méthodes asymptotiques complexes fondées notamment sur l'analyse de singularité.

L'application de ces idées aux séquences textuelles ou génétiques fait l'objet de la section 3.3. L'automatisation de ces méthodes visant à l'analyse complète de modèles complexes est traitée à la section 3.2.

Traditionnellement, l'analyse d'algorithmes propose des prédictions quantitatives de comportement moyen, c'est-à-dire des analyses d'espérances de coûts. Une évolution importante qui commence au début des années 1990 avec la thèse de doctorat ès-sciences de Michèle Soria consiste à aborder des études en distribution. Ceci permet non seulement de connaître les comportements moyens attendus mais encore de prédire les profils de coûts sous la forme de distributions limites ou de bornes de grandes déviations. En d'autres termes, on parvient depuis peu à quantifier très précisément les compromis de type risque-efficacité. Du point de vue mathématique, les travaux établissent un pont intéressant entre approches probabilistes classiques et approches issues de la combinatoire analytique.

Une monographie intitulée ``Analytic Combinatorics'' par P. Flajolet et R.  Sedgewick est en préparation (500 pages sont déjà rédigées et publiées en rapport de recherche INRIA). Cette monographie fait partie d'un programme de recherche visant à établir un corpus cohérent de méthodes pour le domaine de la combinatoire analytique et pour la quantification de l'aléa discret. Les méthodes qui sous-tendent ce programme ont de nombreuses applications en analyse d'algorithmes, parmi lesquelles sont traités spécifiquement dans le projet:

• les structures de données fondamentales comme les tables de hachage, les arbres de recherche uni- ou multi-dimensionnels (voir la section 6.1) ;
• l'algorithmique de la recherche textuelle et du traitement de séquences génomiques (voir la section 6.3) ;
• les arbres digitaux et les arbres liés aux protocoles en arbre (voir les sections 6.1 et 7.2).

Ces méthodes inspirent également une partie des recherches en calcul formel (section 6.2) par les problèmes que pose l'automatisation de la manipulation de grands modèles combinatoires.

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