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Mots clés : méthode de décomposition de domaine, problème de Helmholtz, méthode hybride, méthode de Krylov, préconditionnement, grille grossière .
Nous avons poursuivi notre collaboration avec l'ONERA (F.X. Roux et F. Magoulès) et l'université du Colorado à Boulder (C. Fahrat et A. Macedo) sur l'étude d'une méthode de décomposition de domaines pour l'équation de Helmholtz. Notre travail a en particulier porté sur l'étude d'un espace de « grille grossière » adapté aux problèmes de diffraction comme préconditionneur. Ici, nous utilisons une famille d'ondes planes. Nous avons observé un effet positif certain sur le nombre d'itérations. Toutefois, lorsque l'on enrichit la « grille grossière », il apparaît un phénomène de quasi-colinéarité qui rend la projection sur cette grille délicate (cf. [[17]], [[4]]).
Mots clés : système de Maxwell, géométrie différentielle, élément fini .
Nous avons effectué la mise en oeuvre numérique tridimensionnelle de la méthode y compris pour des milieux hétérogènes. Nous avons montré par une technique d'équations équivalentes nécessitant l'usage du calcul symbolique que le schéma est d'ordre 2 en temps et en espace. D'autre part, nous avons exhibé une énergie numérique qui est une forme quadratique positive sous condition de CFL et qui est exactement conservée par le schéma. Notre méthode est donc non diffusive et permet donc de travailler en temps très long, ce qui permet des calculs de résonnances précis. La dispersion observée semble très raisonnable (cf. [[1]]).
Mots clés : système de Maxwell, effet Kerr, autofocalisation, problème de Riemann, volume fini, limiteur de pente .
Nous avons étudié le comportement du système de Maxwell avec effet Kerr en une dimension d'espace et avec plusieurs polarisations. Ce modèle est un premier pas dans la direction de la compréhension du comportement des champs forts dans des milieux isotropes. Il permet en particulier de prédire les phénomènes de rotation de la polarisation et de comprendre l'autofocalisation. Celle-ci n'étant effective qu'en 2 et 3 dimensions d'espace. Nous avons montré que le système est strictement hyperbolique et caractérisé les phénomènes de détentes et de chocs. Nous avons mis au point une méthode numérique qui utilise soit un Q-schéma, soit un flux de Godunov, soit un flux de Roe. Nous pouvons aussi utiliser des limiteurs de pente. Tout ceci donne des résultats suffisamment précis pour que nous envisagions d'étendre cette méthode en plusieurs dimensions d'espace (cf. [[23]]).
Mots clés : système de Maxwell, élément fini, volume fini, Galerkin Discontinu .
La méthode dite de Galerkin Discontinu est une réponse à la recherche de schémas de précision arbitrairement élevée tout en gardant un caractère local (ce qui permet d'éviter l'apparition de grosses matrices). De plus cette propriété s'avère intéressante pour les systèmes à coefficients discontinus. Nous avons adapté cette méthode au cas du système de Maxwell en milieu hétérogène et effectué des comparaisons avec des méthodes de volumes finis de même précision. Ce travail a été réalisé dans un cadre bidimensionnel et les résultats en termes d'efficacité n'encouragent pas à des travaux d'extension (cf. [[22]]).
Mots clés : Vlasov-Poisson, Vlasov-Maxwell, régimes permanents .
Les régimes permanents dans les dispositifs modélisés par les systèmes de Vlasov-Poisson ou de Vlasov-Maxwell sont caractérisés par des solutions stationnaires ou périodiques. Ces dernières sont difficilement obtenues par des méthodes classiques. Nous avons construit une méthode basée sur une perturbation du champ électromagnétique via un paramètre de contrôle dépendant du temps. Cette perturbation a pour but de raccourcir considérablement le régime transitoire sans modifier la solution recherchée (le paramètre tend rapidement vers zéro). Des expériences numériques ont été effectuées pour les deux systèmes (Vlasov-Poisson et Vlasov-Maxwell) et les résultats ont été soumis à publication (cf. [[14]]).
Mots clés : équation de Poisson, équation de dérive-diffusion, équation d'Euler, ionisation, décharge sous vide, désorption, plasma .
Nous avons continué d'étudier le phénomène de propagation de la décharge électrique tant du point de vue théorique que du point de vue numérique. Nous avons choisi une approche fluide plutôt qu'une approche cinétique. L'avancée de la décharge est modélisée par un couplage entre deux équations de dérive-diffusion, l'équation de Poisson et le système d'Euler. Par une méthode de point fixe, nous avons montré un résultat, local en temps, d'existence et d'unicité de la solution. Nous avons, d'autre part, continué la simulation numérique.
L'étude numérique de la décharge a donné lieu au code Simu_ESD qui servira pour les applications industrielles. Il simule la propagation d'une décharge électrostatique de type diélectrique. Il est basé sur une méthode de type fluide. La décharge est produite par un couplage entre trois sortes de particules (électrons, ions, molécules neutres). Ce couplage se fait via les phénomènes de désorption, d'ionisation, de recombinaison ainsi que par les forces électrostatiques (cf. [[11],[2]]).