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Mots clés : lambda-calcul, théorie des types, sémantique dénotationnelle, sémantique des jeux, complexité .
Participants : Guillaume Bonfante, Adam Cichon, Philippe
de Groote, François Lamarche, Jean-Yves Marion, Catherine
Pilière, Hélène Touzet.
L'isomorphisme de Curry-Howard, qui doit son existence au caractère fonctionnel de la logique intuitionniste, peut être étendu à des fragments de la logique classique. En fait, certaines constructions qu'on rencontre dans les langages de programmation fonctionnels, tels les opérateurs de contrôle, n'ont pu être expliquées que par l'emploi de règles de déduction qui s'apparentent à la preuve par contradiction [Gri90].
Cette extension de l'isomorphisme de Curry-Howard à la logique classique, qui ne suit pas une voie tracée d'avance, reste présente comme thème de recherche au sein du projet.
Bien que cela reste encore spéculatif, il est à noter que
l'emploi que fait Montague du 
-calcul en
sémantique des langues naturels [Mon73] présente de
nombreuses analogies avec la notion de continuation et de
contrôle.
L'interprétation informatique des quantificateurs du second ordre donne lieu à des programmes polymorphes, c'est-à-dire, des programmes prenant certains types de données comme paramètres. Cette idée, au niveau des grammaires catégorielles, a été promue et exploitée par M. Emms [Emm89]: le polymorphisme s'avère utile pour exprimer le type d'un mot comme « et », qui peut coordonner plusieurs sortes de syntagmes.
En général, la logique intuitionniste et la logique linéaire (même restreinte au fragment correspondant au calcul de Lambek) sont indécidables au second ordre. Un thème de recherche important consiste à découvrir des fragments décidables, dont le pouvoir d'expression est suffisant pour telle ou telle application.
L'équipe s'intéresse particulièrement à deux approches de la notion de complexité: la complexité implicite des calculs et la théorie algorithmique de l'information.
La sémantique dénotationnelle est la recherche d'interprétations de la syntaxe dans l'univers des mathématiques « ordinaires », soit les ensembles, relations et fonctions. Son importance dans le développement de la théorie des types modernes a été très grande, et ceci depuis les premiers modèles, dus à Scott, qui datent de la fin des années soixante. En particulier l'invention de la logique linéaire est due à l'étude poussée par Girard d'un modèle particulièrement simple du lambda-calcul, les espaces cohérents.
La sémantique des jeux est un nouveau type de sémantique dénotationnelle qui a la capacité de conserver beaucoup plus d'information syntaxique que les sémantiques traditionnelles. L'idée de base est très simple : on considère un type comme un jeu à deux personnes, et un terme/élément qui habite ce type comme une stratégie de jeu pour un des joueurs. Si certaines versions de la sémantique des jeux sont conçues spécifiquement pour le lambda-calcul, il reste néanmoins que le terrain naturel pour en exprimer les constructions de base est la logique linéaire, vu le rapport très étroit avec les réseaux de démonstration. La sémantique des jeux apporte certaines intuitions au niveau opérationnel, et permet par exemple la conception de machines abstraites pour le lambda-calcul. Dans une direction similaire, elle ouvre aussi des perspectives pour la modélisation de l'analyse syntaxique pour les formalismes catégoriels.