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Mots clés : calcul des séquents, réseaux de démonstration, réseaux d'interaction .
Participants : Philippe de Groote, François Lamarche,
Jean-Yves Marion, Guy Perrier, Christian Retoré.
Glossaire :
Réseaux de démonstration Représentations graphiques (au sens de la théorie des graphes) des démonstrations de la logique linéaire.
Réseaux d'interaction Modèle universel de calcul basé sur une généralisation du processus d'élimination des coupures au sein des réseaux de démonstration.
Le but de cette action est d'étudier la théorie des réseaux de démonstration et d'interaction, et de contribuer à son développement. Nous nous intéressons à la généralisation du concept de connecteur multiplicatif, en particulier dans le cas non commutatif (réseaux ordonnés, calculs de Lambek et d'Abrusci). Une autre direction de recherche concerne l'addition des opérateurs de la logique linéaire ordinaire (quantificateurs, additifs et modalités) aux réseaux multiplicatifs. Les réseaux d'interaction, une variante des réseaux multiplicatifs, beaucoup plus lâche du point de vue du typage, retiennent également notre attention.
La théorie des réseaux est en fait un de nos outils principaux, et ses techniques sont employées dans les autres actions de recherche.
Dans un premier temps, on définit la notion de structure de démonstration. Etant donné un séquent de la logique linéaire, une structure de démonstration est un graphe comprenant deux composantes :
La découverte de nouveaux critères de correction reste un thème de recherche important. Certains critères sont mieux adaptés que d'autres à telle ou telle application. En particulier, en démonstration automatique, les critères de correction peuvent être utilisés comme invariants au cours de la construction inductive d'une démonstration.
La théorie des réseaux de démonstration présente également un
caractère dynamique : l'élimination des coupures. Cette dynamique
correspond à une notion de normalisation (ou d'évaluation)
apparentée à la notion de réduction 
du
lambda calcul.
La logique linéaire, du fait de sa grande souplesse, permet de nombreuses variations. Par exemple en rejetant (partiellement) la règle structurelle d'échange, on obtient des variantes (partiellement) non commutatives.
Il est également possible de se restreindre à des séquents intuitionnistes, ce qui correspond à une vision fonctionnelle (en termes d'entrées/sortie) de la logique linéaire. En particulier, le calcul syntaxique de Lambek [Lam58,Lam61] qui joue un rôle central en théorie des grammaires catégorielles, correspond exactement au fragment intuitionniste, non commutatif de la logique linéaire multiplicative. Citons également d'autres variantes qui nous intéressent au premier chef : le calcul non commutatif d'Abrusci [Abr91] et le calcul ordonné de Retoré [Ret93]. Pour chacune de ces variantes, nous étudions et développons la théorie des réseaux de démonstration associée.
Dès que l'on s'éloigne du fragment multiplicatif, de nombreuses difficultés émergent (caractère non-local des réductions dû à la présence des boîtes, non-confluence due aux règles de commutation, etc.). De ce fait, en dehors du fragment multiplicatif, la théorie des réseaux correspond plus à un domaine de recherche actif qu'à une théorie établie.
Or le pouvoir d'expression du fragment multiplicatif est trop
faible pour de nombreuses applications. Dans le cadre de
l'isomorphisme de Curry-Howard [How80], par
exemple, il est indispensable d'utiliser les exponentielles si
l'on veut récupérer la puissance de la logique intuitionniste et
donc, du 
-calcul. Les additifs, quant à
eux, permettent d'exprimer des opérateurs de choix. Finalement,
les quantificateurs jouent également un rôle important dans de
nombreuses applications, qu'il s'agisse des quantificateurs du
premier ordre permettant d'exprimer des dépendances, ou des
quantificateurs du second ordre permettant d'exprimer le
polymorphisme.
Les réseaux d'interaction [Laf90] sont un modèle de calcul directement inspiré des réseaux de démonstration. Leur mécanisme de calcul est une généralisation du mécanisme d'élimination des coupures du fragment multiplicatif. Les réseaux d'interaction ne représentent pas, en général, des démonstrations. Leur théorie correspond plutôt à celle d'une machine abstraite permettant d'implanter, entre autres, les réseaux de démonstration. Du fait qu'ils correspondent à un modèle de calcul parallèle, les réseaux d'interaction jouent un rôle important dans notre étude des aspects parallèles de la logique linéaire.