Précédent : Présentation et objectifs généraux
Remonter : Présentation et objectifs généraux
Suivant : Fondements scientifiques
La logique linéaire[Gir87] est une nouvelle
logique constructive, issue d'une réflexion de J.-Y. Girard quant
au besoin d'améliorer la représentation des démonstrations. Elle
peut se comprendre comme résultant d'une analyse fine du rôle
joué par les règles structurelles dans le calcul des séquents de
Gentzen[Gen55].
Ces règles, considérées traditionnellement comme secondaires,
spécifient que les séquences de formules apparaissant dans les
séquents peuvent être traitées comme des (multi)ensembles. Elles
sont au nombre de trois dans le cas de la logique intuitionniste
(et, par symétrie, au nombre de six dans le cas de la logique
classique) :
Dans le cadre de cette analyse, la logique linéaire peut être comprise comme un système conciliant le constructivisme de la logique intuitionniste et la symétrie de la logique classique. Tout comme en logique intuitionniste, le caractère constructif est obtenu en rejetant l'usage des règles d'affaiblissement et de contraction dans la partie droite du séquent. Mais ce faisant, afin de conserver un système symétrique, on rejette également l'usage de ces mêmes règles dans la partie gauche.
Le système résultant, appelé logique linéaire
rudimentaire (voir Table 1),
logique linéaire propositionnelle | ||||
logique linéaire rudimentaire | ||||
négation | multiplicatifs | additifs | exponentielles | |
négation |
A![]() |
|||
conjonction |
A ![]() |
A &B | ||
disjonction |
A![]() |
A ![]() |
||
implication | A -oB | |||
constantes | 1, ![]() |
![]() |
||
modalités | !A, ?A |
En logique linéaire rudimentaire, toute hypothèse doit être utilisée une et une seule fois au cours d'une dérivation. Cette propriété, qui permet de considérer la logique linéaire comme un calcul de ressources, est due, comme nous l'avons vu, au rejet des règles structurelles. Cependant, l'absence totale de celles-ci implique également que la logique linéaire rudimentaire est un système beaucoup plus faible que la logique intuitionniste ou classique. Aussi, afin de restaurer la puissance de ces dernières, est-il nécessaire d'ajouter au système des opérateurs permettant de récupérer le contenu logique des règles d'affaiblissement et de contraction. Ceci est réalisé, dans le cas de la logique linéaire complète, par le biais de deux modalités permettant un usage limité des règles structurelles, respectivement à gauche et à droite du séquent. La logique linéaire ne nie donc pas l'utilité des règles structurelles mais en souligne, au contraire, l'importance logique. De ce fait, elle les rejette en tant que règles épithéoriques[Cur77] afin de pouvoir les incorporer dans son système comme règles logiques contrôlées par l'utilisation de nouveaux connecteurs. C'est cette idée originale qui confère à la logique linéaire toute sa finesse et sa puissance.