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Jeux
dynamiques
Participants : Jean-Luc Gouzé, Claude Lobry, Ruben
Diaz.
Mots clés : modélisation en biologie, système dynamique, automatique non linéaire .
Nous travaillons à des problèmes concernant les modèles généralisés de Lotka-Volterra, qui sont en fait des systèmes différentiels polynomiaux à variables positives ; on cherche des méthodes pour étudier la stabilité globale ou pour décrire le comportement qualitatif.
Nous avons travaillé avec nos invités indiens à des modèles de dynamique de populations couplés à de l'épidémiologie.
Avec Alain Rapaport (INRA Montpellier), nous avons poursuivi des travaux sur les observateurs par intervalles, en posant en particulier le problème de l'observabilité pratique : il arrive qu'un système incertain soit observable théoriquement instantanément, mais qu'on ne puisse pas construire un observateur classique ([RG99]).
C. Lobry (en collaboration avec S. Touhami et T. Sari, de Strasbourg) a étudié des systèmes à rétroaction lente ou rapide (feedback et observateurs grand gain dans la terminologie de l'automatique) dans le contexte des applications à la biologie.
De nombreux modèles d'écosystèmes peuvent être analysés en
termes de système entrée sortie soumis à une rétroaction
dynamique. Il arrive que le temps caractéristique du processus
biologique soit très différent de celui de la rétroaction, ce qui
mathématiquement s'exprime par le fait qu'un certain paramètre
est petit. Il est alors possible de mettre à profit la théorie
des perturbations singulières pour réduire la dimension du modèle
en négligeant les transitoires des processus rapides et en
écrivant ce que les physiciens appellent des « états quasi
stationnaires ». Nous avons étudié en particulier la convergence
vers un équilibre pour des temps infinis [[14]].