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Participants : Jean-Charles Gilbert, Xavier Jonsson.
Mots clés : commande optimale, optimisation de formes .
Les applications de l'optimisation sont nombreuses, variées et constamment renouvelées. La démarche est souvent la suivante. Au départ, le modèle décrit une situation où il s'agit de déterminer un ensemble de paramètres de manière à minimiser un critère. Le plus souvent il s'agit de modèles en dimension infinie. Après discrétisation (en espace et/ou en temps), on se ramène à un problème d'optimisation avec contraintes en dimension finie de forme standard.
Outre les problèmes d'estimation de paramètres déjà mentionnés (en sismique et pour les écoulements en milieu poreux), on présente ici trois autres applications en cours d'étude.
Le problème est celui de la commande optimale d'un engin sous-marin fixé à l'extrémité d'un câble et remorqué par un navire. Un treuil permet d'enrouler ou de dérouler le câble de manière à faciliter les manoeuvres. Ce système est utilisé pour explorer les fonds sous-marins; la longueur du câble peut donc atteindre plusieurs milliers de mètres. Plus précisément, il s'agit de déterminer une trajectoire du navire amenant le système câble-engin d'une position donnée à une autre, en un temps minimal et en respectant diverses contraintes (évitement d'obstacles, borne sur la tension dans le câble, etc). Ce travail a été proposé par l'Ifremer (Brest).
L'intégration de l'équation de la dynamique du système câble-engin conduit à un ensemble d'équations qui sont vues comme des contraintes d'égalité dans le problème d'optimisation résultant. On considère également des contraintes d'inégalité portant sur la position et la vitesse finales de l'engin, sur la vitesse du navire, sur la vitesse de filage du câble et sur la profondeur de l'engin au cours de la trajectoire (ce qui permet de prendre en compte un éventuel relief sous-marin).
Par discrétisation, on transforme ce problème de commande optimale avec contraintes d'inégalité sur l'état en un problème d'optimisation non linéaire de dimension finie écrit sous forme standard. Le nombre de pas de temps étant fixé, il s'agit de minimiser la durée de ceux-ci. Sa résolution s'appuie sur un algorithme de points intérieurs (voir section 3.3.1).
Pour concevoir des verres ophtalmiques progressifs destinés à corriger la presbytie, on est amené à déterminer les surfaces du verre de manière à obtenir des propriétés de correction de vision adaptées à un porteur donné (puissance du verre pour la vision de près et de loin, correction de l'astigmatisme, etc), tout en minimisant certaines aberrations dues entre autres à l'épaisseur du verre et à l'indice du matériau. Cela conduit généralement à un problème de moindres-carrés non linéaire où l'on cherche à minimiser les écarts entre des grandeurs de nature géométrique ou optique évaluées en certains points de la surface progressive, et celles souhaitées pour le verre optimisé.
Dans ce travail, proposé par Essilor (Saint-Maur-des-Fossés), nous cherchons à déterminer comment les techniques d'optimisation avec contraintes peuvent simplifier la phase de conception d'un verre progressif et améliorer les propriétés optiques des verres.
Il s'agit d'optimiser la forme d'une aube de compresseur de manière à améliorer les caractéristiques du fluide s'écoulant autour de l'aube et le rendement du dispositif. Le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes avec turbulence. Le nombre de variables du système est de plusieurs milliers (en 2D) ou de plusieurs millions (en 3D). Par contre le nombre de paramètres décrivant la forme n'est que de quelques centaines. Ce travail a été proposé par la Snecma (collaboration avec le Lemfi à Orsay).
C'est un cas typique des problèmes d'optimisation de forme en mécanique des fluides. Le nombre de variables d'état est très grand alors que le nombre de paramètres indépendants (ou variables de commande) à optimiser reste modéré. La difficulté essentielle de ces problèmes vient du fait que l'équation d'état ne peut être résolue aisément par des itérations de Newton. Une adaptation des méthodes de points intérieurs non linéaires sera donc nécessaire dans ce travail qui débute.