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Différentiation
automatique
Participants : Paul Armand![[*]](../icons/foot_motif.gif){kind=icon}
, Laurent Chauvier, J. Charles
Gilbert, Sophie Jan-Jégou, Elizabeth Karas, Philippe
Segalat.
Rappelons qu'il s'agit d'algorithmes adaptés à la minimisation de fonctions sous contraintes d'inégalité, éventuellement en grand nombre.
Avec L. Chauvier, nous avons poursuivi le développement et
l'étude d'une méthode de points intérieurs pour la minimisation
sous contraintes d'égalité et d'inégalité non linéaires et non
convexes [[18]]. On suppose
que les dérivées secondes du critère et des contraintes sont
disponibles. Le principe des méthodes de points intérieurs
primales-duales est de résoudre de manière approchée les
conditions d'optimalité perturbées du problème, tout en faisant
tendre le paramètre de perturbation
> 0vers zéro. Dans l'algorithme
proposé, la non convexité éventuelle du problème est prise en
compte en adaptant la méthode de Newton tronquée aux problèmes
avec contraintes de manière à n'utiliser que la partie définie
positive du hessien réduit du lagrangien. La globalisation de
l'algorithme se fait par recherche linéaire, en utilisant une
fonction de mérite primale-duale. Nous avons démontré que cet
algorithme génère des itérés convergeant vers des points
stationnaires.
Avec P. Armand et S. Jan-Jégou, nous avons poursuivi l'étude
de l'utilisation des techniques de quasi-Newton pour approcher
les dérivées secondes dans les méthodes de points intérieurs. Nos
efforts se sont portés sur le cas où les itérés sont maintenus
admissibles (les contraintes d'inégalité sont vérifiées avec
inégalité stricte au cours des itérations). Nous avons montré
que, pour un problème convexe (critère et contraintes d'inégalité
convexes, contraintes d'égalité affines), la mise à jour de BFGS
permet d'avoir une convergence globale et superlinéaire des
itérés à paramètre de perturbation fixé [[16]]. Nous
poursuivons cette étude pour mettre au point un algorithme sans
admissibilité forcée des itérés. Dans un travail de stage de
DEA [[29]],
Ph. Segalat a mis en oeuvre cet algorithme et l'a testé sur des
problèmes de la collection Cute. Le comportement général de
l'algorithme est bon, même lorsque le problème n'est pas convexe
(on utilise alors la ``correction de Powell'').
Les algorithmes ci-dessus se présentent comme une succession
de résolutions de systèmes non linéaires, paramétrés par un
scalaire > 0 que l'on fait tendre vers
zéro. De nombreux chercheurs essaient de modifier ce paramètre
plus souvent de manière à résoudre moins finement les problèmes
avec une grande valeur de qui sont très
éloignés du problème original et de diminuer ainsi le nombre
d'itérations nécessaires à l'obtention d'une solution. Avec E.
Karas, nous avons entrepris l'étude d'une nouvelle approche dans
laquelle est modifié à chaque itération.
Quelques résultats ont été obtenus pour la programmation
linéaire.