Projet : FRACTALES - Equations de diffusion appliquées aux distributions temps-fréquence

Mots clés : classe de Cohen, équations de diffusion, filtrage non-uniforme adaptatif, interférences, localisation .

Résumé :

L'optimisation du compromis localisation vs. suppression des interférences est un challenge important dans l'étude des représentations temps-fréquence. Nous proposons de revisiter les représentations lissées de la classe de Cohen, en termes d'équation de diffusion (de la chaleur) appliquées à la distribution de Wigner. Cette approche s'étend ensuite aisément au filtrage non-uniforme adaptatif, fournissant ainsi des représentations qui optimisent localement le compromis conservation des supports / lissage des interférences.

Le spectrogramme S_x, module carré de la transformée de Fourier à court-terme (section 3.5), s'écrit comme le lissage de la distribution de Wigner par un noyau de lissage bidimensionnel $\Pi$ :

S_x(t, f ) $\displaystyle \;\stackrel{\triangle}{=}\;$ $\displaystyle \int$ $\displaystyle \int$ W_x(u, n) $\displaystyle \Pi$ (u - t, n - f ) du dn.

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Dans le cas d'un noyau $\Pi$ Gaussien, le spectrogramme peut également s'interpréter comme le résultat d'un processus de diffusion (équation de la chaleur) appliqué à la distribution de Wigner:

$\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{lr}W(t,f\,;\tau=0) = W_{x}(t,f) \\... ...ial \tau} = \mbox{div}\left(\nabla W_{x}(t,f\,;\tau)\right).\end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lr}W(t,f\,;\tau=0) = W_{x}(t,f) \\ [3mm]\frac{\part... ...)}{\partial \tau} = \mbox{div}\left(\nabla W_{x}(t,f\,;\tau)\right).\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{lr}W(t,f\,;\tau=0) = W_{x}(t,f) \\ ... ...ial \tau} = \mbox{div}\left(\nabla W_{x}(t,f\,;\tau)\right).\end{array}}\right.$

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Partant de cette dernière équation, nous proposons alors de contrôler le gradient de diffusion local en pondérant $\nabla$ W_x(t, f ; $\tau$ ) par une fonction de conductance C_x(t, f; $\tau$ ), d'autant plus grande que le degré de lissage souhaité au point (t, f ) est important [[30]]. Le processus de diffusion anisotropique ainsi défini conduit à un lissage non-uniforme de la distribution de Wigner, lissage que l'on souhaite adapter à la nature des composantes traitées: les auto-termes doivent rester localisés afin de préserver le support (temporel et fréquentiel) des composantes du signal, alors que les termes croisés oscillants (interférences) doivent être supprimés sous l'effet d'un filtrage passe-bas. Dans cette optique nous avons proposé différents choix de fonctions de conductance parmis lesquels, la possibilité de contrôler le processus de diffusion par le spectrogramme lui-même:

C_x(t, f ; $\displaystyle \tau$ ) = $\displaystyle {\frac{1}{1+\left(\frac{S_x(t,f)}{\gamma}\right)^{\alpha}}}$ , ( $\displaystyle \gamma$ , $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \in$ $\mathbb{R}$ ⁺_*.

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