Projet : FRACTALES

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Une généralisation du Mouvement Brownien Multifractionnaire

Participants : Antoine Ayache, Jacques Lévy Véhel.

Mots clés : exposant de Hölder ponctuel, mouvement Brownien fractionnaire, mouvement Brownien multifractionnaire .

Résumé :

Le Mouvement Brownien Multifractionnaire (mBm) est un processus gaussien continue qui généralise le célèbre Mouvement Brownien Fractionnaire de Mandelbrot et Van Ness. La régularité des trajectoires du mBm peut être prescrite; lorque H(t) est une fonction Hölderienne à valeurs dans [a, b] $\subset$ ]0, 1[, on peut construire un mBm dont l'exposant de régularité ponctuel en tout point t₀ est égal à H(t₀) (p.s.). Nous définissons une généralisation du mBm pour laquelle H(t) appartient à une classe de fonctions beaucoup plus large que la classe des fonctions Hölderienne, H(t) peut être notamment une fonction très irrégulière.

Le Mouvement Brownien Fractionnaire (mBf) est le processus gaussien centré, défini par

 

$$\int_{-\infty}^{+\infty} {\frac{e^{it\xi}-1}{\vert\xi\vert^{H+1/2}}} \xi$$ (1)

où dW($\xi$) est une mesure Brownienne et où H $\in$ ]0, 1[. Un des principaux intérêts du mBf est que l'on peut prescrire la régularité de ses trajectoires. Plus précisément, l'exposant de Hölder ponctuel du mBf en un point quelconque t₀, est égal à H (p.s). Le mBf s'est révélé être très utile du point de vue des applications: il a permis de modéliser différents phénomènes notamment en économie, dans l'étude de la turbulence et en traitement du signal et de l'image. Toutefois, la régularité des trajectoires du mBf est partout la même et cela peut être indésirable dans certaines situations (par exemple, lorsque l'on synthétise des montagnes artificielles, on ne peut tenir compte de certains phénomènes, comme celui de l'érosion). Cela est l'une des raisons pour lesquelles il est souhaitable de construire des processus qui généralisent le mBf et tels que l'exposant de régularité ponctuel dépende de t. Une première généralisation du mBf est le Mouvement Brownien Multifractionnaire (mBm), qu'on peut aussi définir par (1) mais cette fois le paramètre H est une fonction Hölderienne de t et on a pour tout t₀, $\alpha_{mBm}^{}$(t₀) = H(t₀) (p.s). Le mBm a été développé parallèlement et de façon indépendante par Lévy Véhel et Peltier d'une part et par Benassi, Jaffard et Roux d'autre part.

Dans certains contextes (crashs boursiers, passage d'une texture à une autre dans une image, ... ), il peut sembler plus réaliste de supposer que la régularité est discontinue. C'est pour cela que nous avons défini le processus gaussien {Y(t)} suivant, qui est un certain sens une extension du mBm.

 

$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{D_n}^{} {\frac{e^{it\xi}-1}{\vert\xi\vert^{H_{n}(t)+1/2}}} \xi$$ (2)

où
- D₁ = {$\xi$,  |$\xi$| < 1} et D_n = {$\xi$,  $\lambda^{n-2}_{}$ < |$\xi$| < $\lambda^{n-1}_{}$} pour n $\geq$ 2.
- (H_n(t)) est une suite de fonctions à valeurs dans [a, b] $\subset$ ]0, 1[ vérifiant
(a) $\liminf_{n\longrightarrow\infty}^{}$H_n(t) = H(t),
(b)pour tout $\epsilon$ > 0 et pour tout t, il existe n₀ = n₀(t,$\epsilon$) et h₀ = h₀(t,$\epsilon$) > 0
telle que: $\forall$, n $\geq$ n₀, | h| $\leq$ h₀, H_n(t + h) > H(t) - $\epsilon$,
(c) | H'_n|_$\infty$ = 0(n).

On peut alors prouver que l'on a toujours $\alpha_{mBm}^{}$(t₀) = H(t₀), alors que H peut maintenant être très irrégulière (par exemple H = a + (b - a)1_C où 0 < a < b < 1 et C est l'ensemble de Cantor).

Nos travaux se poursuivent actuellement dans les deux directions suivantes:

1) Etude des propriétés fractales et multifractales du mBm généralisé (évaluation de la dimension de Hausdorff et de la dimension de boîtes de son graphe, étude de son spectre multifractal, ...).

2) Etude des propriétés statistiques du mBm généralisé (identification de la fonction H(t), recherche de tests d'adéquation, ... ).

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