Projet : Gamma - Maillage plan

Cette étude montre la possibilité de gouverner la génération d'un maillage d'un domaine de calcul quelconque en deux dimensions à l'aide d'une décomposition spatiale de type quadtree. Dans l'approche retenue, les opérations délicates sur cette structure hiérarchique sont remplacées par des opérations d'optimisation sur le maillage, plus efficaces.

L'utilisation d'une décomposition spatiale comme support à la construction de maillages a été démontrée il y a une quinzaine d'années environ (cf. fondements). Dans cette étude, nous montrons qu'à partir d'un recouvrement du domaine de type quadtreee, il est possible d'obtenir un maillage satisfaisant des requis de tailles spécifiques (géométriques ou physiques). Cette approche,[[20]], peut de ce fait être intégrée dans un schéma de calcul adaptatif.

Le domaine à mailler est approché par la réunion de cellules disjointes de tailles variables constituant une partition du domaine. À partir d'une discrétisation de la frontière du domaine, un recouvrement d'une boîte englobante est créé de manière récursive (par insertion des entités de frontière et en fonction d'un critère de raffinement). À mesure que la subdivision s'affine, la géométrie de la portion de domaine contenue dans chaque cellule se simplifie, ce qui réduit d'autant tout traitement ultérieur de ces cellules. Chaque cellule terminale de l'arbre ainsi construit est ensuite décomposée en simplexes qui constituent le maillage final du domaine (après élimination des éléments externes).

La partie délicate de la construction d'un maillage concerne la gestion des intersections entre les entités de la discrétisation de frontière et les cellules de l'arbre. Pour des raisons d'efficacité et de robustesse, nous avons choisi de remplacer l'étape de filtrage classiquement utilisée sur la structure d'arbre par une étape d'optimisation du maillage. Cette dernière est basée sur des modifications topologiques (les connexions entre sommets sont modifées, les coordonnées de ceux-ci étant inchangées) et géométriques (certains sommets sont supprimés, leurs positions sont modifiées).

**Figure 2:** Adaptation de maillage à une carte de tailles définie analytiquement. Maillage initial (à gauche) et maillage adapté à l'itération 10 (à droite) obtenus par une méthode de type quadtree.
$\begin{figure} \hbox to \hsize{\hfill \epsfig{file=qtrcooler.ps,width=5.5cm}\hfill \epsfig{file=qtrcooler10.ps,width=5.5cm}\hfill}\end{figure}$

La construction de l'arbre tient compte d'une carte de spécifications de tailles. La taille des éléments du maillage est en effet liée à la taille des cellules dont ils sont issus. Il est ainsi possible de créer un maillage gouverné du domaine, étape indispensable en adaptation de maillages.

Maillage plan

Résumé :