Projet : Gamma - Maillage de surfaces paramétrées

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Maillage de surfaces paramétrées

Participants : Houman Borouchaki, Patrick Laug.

Mots clés : Surface paramétrée .

On distingue le cas particulier des domaines composés à partir de sphères (utilisés pour des applications en chimie) des domaines paramétrés quelconques.

Surfaces composées quelconques

Le problème est de construire des maillages contraints de surfaces composées de carreaux paramétriques conformes, où les contraintes sont, d'une part, le respect d'un champ de métriques donné et, d'autre part, la qualité en forme des éléments. La première contrainte indique que le maillage doit respecter localement des tailles (qui peuvent être différentes selon les directions) en chacun de ses sommets et la deuxième exige que les éléments soient aussi réguliers que possible. Rappelons que le maillage d'un carreau (ou d'une nappe) paramétrique (qui par défaut est une triangulation de la surface dont tous les sommets appartiennent à la surface) doit vérifier deux propriétés fondamentales :

${\cal P}_1$ : chaque élément doit être proche de la surface et
${\cal P}_2$ : chaque élément doit être proche des plans tangents en ses trois sommets.

La première propriété ${\cal P}_1$ indique que l'écart entre le maillage et la surface peut être borné. Cet écart représente la plus grande distance entre un élément et la surface. La seconde propriété ${\cal P}_2$ traduit localement la continuité d'ordre G¹ de la surface. Un élément est proche du plan tangent en l'un de ses sommets si l'écart angulaire entre l'élément et le plan tangent en ce sommet à la surface peut être borné.

La méthode que l'on propose est une méthode classique qui comprend deux étapes. Il s'agit dans un premier temps de discrétiser les interfaces des carreaux dans $\mathbb{R}$ ³ (première étape) puis reporter ces discrétisations dans les domaines des paramétres et générer le maillage de chaque carreau via son domaine des paramétres (deuxième étape), à partir de la discrétisation de sa frontière. Naturellement, ces maillages sont gouvernés par des champs de métriques adéquats de telle manière que les maillages résultants surfaciques :

vérifient les deux propriétés ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$ et
respectent les requis en termes de métriques et de formes d'éléments.

Dans le cas d'une métrique géométrique, cette seconde étape a fait l'objet d'une précédente étude. Cette année nos recherches se sont axées sur le cas général de respect d'une métrique quelconque, puis l'accent a été mis sur la première étape et en particulier sur la discrétisation des courbes dans $\mathbb{R}$ ³ pour laquelle une méthode originale est proposée.

Nous avons developpé et expérimenté le logiciel BLSURF (Section Logiciels), qui crée des maillages de surfaces dans l'espace 3D. En entrée, chaque surface doit être définie comme un ensemble de carreaux conformes. La description de chaque carreau comprend le domaine de deux paramètres u et v, une expression analytique S(u, v), ainsi que les dérivées première et seconde de S(u, v). Des fonctions prédéfinies existent pour les surfaces sphériques ou toriques, Bézier, B-spline, NURBS, etc. Il est possible de spécifier les tailles et les formes des éléments (constantes, dépendantes des courbures, ou imposées par une carte de métriques). En sortie, un maillage de surface isotrope ou anisotrope est généré.

Surfaces moléculaires (sphériques ou toriques)

Les surfaces moléculaires sont maintenent largement utilisées dans le domaine de la chimie. Pour une molécule donnée, plusieurs types de surfaces sont définis, notamment la surface de van der Waals (VWS), la surface accessible au solvant (SAS) et la surface exclue au solvant (SES). Les surfaces VWS et SAS, qui sont formées uniquement de carreaux sphériques, ont été traités l'an dernier. Les travaux de cette année,[[22]], [[16]], ont porté sur les surfaces SES, qui comprennent à la fois des patches sphériques et toriques. Des problèmes ont été résolus quant à la paramétrisation et au maillage de ces patches.

Les applications en chimie sont faites en contact avec O. Coulaud (Inria-Lorraine), M. Sanner du Scripps Research Institute et E. Cances (CERMICS - ENPC).

**Figure 1:** *Maillages anisotropes d'une molécule de cyclohexane. À gauche, maillage en triangles* P¹ contrôlé par un écart angulaire de 8^o, à droite, maillage P² pour un écart de 32^o.
$\begin{figure} \hbox to \hsize{\hfill \epsfig{file=ch.p1.ps,width=5.5cm}\hfill \epsfig{file=ch.p2.ps,width=5.5cm}\hfill}\end{figure}$

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