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Commande optimale et optimisation de forme
Le lien entre les problèmes d'identification et
ceux d'optimisation réside dans le fait qu'il s'agit, dans les
deux cas, de minimiser une fonctionnelle dépendant de la solution
de l'équation aux dérivées partielles ( EDP). En
effet, les problèmes d'identification peuvent être formulés comme
la minimisation de l'écart quadratique entre les observations
expérimentales et les quantités correspondantes calculées par
résolution du système d'équations; les variables de contrôle
sont, dans ce cas, les paramètres ou les fonctions à identifier.
La minimisation de fonctionnelles dépendant de la solution d'une
EDP, par rapport à un vecteur de contrôle
intervenant soit dans les conditions initiales, soit dans les
conditions aux limites ou dans l'équation elle-même, relève de la
théorie du contrôle optimal des EDP.[Lio68]
Un problème d'optimisation de forme (ou plus
précisément un problème de contrôle par la forme) est un problème
de contrôle optimal dont la variable de contrôle est la forme du
domaine dans lequel les équations sont posées. Une théorie
mathématique de contrôle par la forme a été développée dans les
années 70 (l'école française joue alors un rôle prépondérant:
[MS76], [C81],...). Depuis, beaucoup
de mathématiciens, numériciens et mécaniciens travaillent sur ces
problèmes. De même, les problèmes industriels d'optimisation de
forme sont de plus en plus nombreux. Voici quelques exemples
d'objets dont les ingénieurs cherchent à optimiser la forme: une
tuyère, une filière en cristallogenèse, une aile d'avion, un
guide d'ondes, un pilier ... L'optimisation de forme peut
également servir à calculer la forme de la surface d'un fluide
connaissant les actions extérieures qui lui sont exercées. Par
exemple, la forme d'une goutte métallique soumise à un champ
électrique (ou en suspension dans un champ électromagnétique)
peut être calculée en minimisant l'énergie de la goutte par
rapport à sa forme.
Du point de vue méthodologie mathématique, on définit l'espace
des domaines 
comme étant l'ensemble des
domaines homéomorphes à un domaine de référence
(on a:
).
On définit ensuite la dérivée d'une fonction par rapport au
domaine ainsi [MS76]:
a) on transporte la fonction sur le domaine de référence, b) on
dérive la fonction transportée par rapport à la transformation
T. Grâce à ces définitions, un problème de contrôle par la
forme se ramène à un problème de contrôle optimal ``classique''
dans le cadre d'espaces de Banach.
Du point de vue numérique, un schéma classique de résolution
de ce type de problème est le suivant. On minimise la fonction
coût par une méthode de descente (un algorithme de type gradient,
quasi-Newton, ...). On calcule le gradient en introduisant une
équation d'état adjoint. Deux approches sont possibles :
l'approche continue (on calcule la différentielle exacte du coût
et on la discrétise) et l'approche discrète (on discrétise puis
on dérive).
Si la forme du domaine est décrite à l'aide de splines
cubiques, les variables de contrôle sont les points splines. Une
difficulté classique est la minimisation même de la fonctionnelle
coût. En effet, bien souvent cette fonctionnelle est non convexe
et les variables de contrôle ainsi que les variables d'état sont
soumises à des contraintes non linéaires. Par conséquent,
l'algorithme converge souvent vers un minimum local qui dépend de
la forme initiale, ou peut même ne pas converger. Un remède à
cela peut être l'utilisation de la méthode des domaines fictifs
(appliquée à l'optimisation de forme) pour obtenir
automatiquement un bon domaine initial pour ensuite utiliser la
technique précédente des variations de domaine.
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