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Le filtrage est l'outil de base dans l'approche séquentielle pour le problème de l'assimilation de données dans les modèles numériques, plus particulièrement en météorologie et en océanographie. Cette approche est de type stochastique, qui se justifie par le fait que la dynamique du système étudié est chaotique et ressemble donc à un système aléatoire. De plus l'état initial, étant inconnu, peut être commodément modélisé par un vecteur aléatoire et on peut prendre en compte l'imperfection du modèle par l'introduction d'un terme de bruit aléatoire. Le but du filtrage est de déterminer une bonne approximation de l'espérance conditionnelle de l'état du système au vu des données observées, ces dernières apparaissant comme les valeurs d'un processus lié à l'état du système et contaminées par un bruit d'observation.
Pour les applications en météorologie et en océanographie, l'approche filtrage a rencontré deux difficultés majeures. La première est le caractère non linéaire des équations de dynamique, qui a conduit à l'utilisation d'un filtre sous-optimal dit de Kalman étendu dans lequel on linéarise les équations au voisinage de l'estimation courante de l'état. Cependant ce filtre peut être instable et parfois diverge complètement. La deuxième difficulté est la très grande dimension de l'état du système. L'application du filtre conduirait à des calculs prohibitifs. De plus, cette grande taille pose le problème de la spécification adéquate des statistiques des erreurs.
Notre objectif dans le cadre de ce projet consiste à mener une étude approfondie des possibilités de l'approche par filtrage et à terme d'appliquer la méthode sur des données réelles. À cette fin, nous avons proposé un filtre de type Kalman étendu basé sur l'utilisation d'une matrice de covariance des erreurs singulière et de rang faible. Ce filtre opère selon le principe de ne pas faire de corrections dans les directions d'atténuation naturelle des erreurs. Les corrections sont effectuées uniquement dans des directions appartenant à un sous-espace vectoriel. Celui-ci est construit au départ par la méthode des fonctions orthogonales empiriques (EOF), mais évolue par la suite selon le modèle. Ainsi, nous l'appelons (Singular Evolutive Extended Kalman) [PVR96], [[29]]. Il a été d'abord testé dans une configuration réduite basée sur le module océan quasi-géostrophique, qui donne des résultats très satisfaisants [PVR96], [[29]]. Il est ensuite expérimenté avec succès pour l'assimilation des données altimétriques dans un cadre réaliste d'un modèle aux équations primitives pour l'océan Pacifique tropical [VGP+97], [[28]]. Nous travaillons actuellement à l'amélioration du filtre, d'une part pour renforcer sa robustesse vis-à-vis de la non-linéarité [[58]] et d'autre part, pour réduire encore son coût de calcul sans dégradation notable de sa performance. Sur le premier point, l'idée est d'abandonner la linéarisation dans le filtre de Kalman étendu au profit de l'interpolation et des tirages Monte-Carlo. Ainsi nous avons construit un autre filtre baptisé filtre SEIK (Singular Evolutive Interpolated Kalman)[Pha96], [Pha97], [[28]], qui semble être plus robuste vis-à-vis de la non-linéarité avec l'avantage d'être plus simple à réaliser. Sur le deuxième point, les pistes suivantes seront explorées :