Projet : M3N

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Action Fluides-Structures

La compréhension des mécanismes d'interactions entre un fluide et un solide élastique en grands déplacements est d'une importance capitale dans de nombreuses applications industrielles : calculs d'amortisseurs hydrauliques, aéroélasticité en grands déplacements, écoulements sanguins.

Les travaux récents des différentes équipes de recherche, et en particulier du projet M3N, ont permis de dégager et d'analyser une méthodologie générale pour la résolution numérique des problèmes d'interactions entre un fluide visqueux en écoulement et une structure souple en grands déplacements [Mou96]. Cette méthodologie propose de

1.

traiter de façon cohérente l'interface entre fluide et structure même après discrétisation numérique (respect des propriétés énergétiques et du principe de l'action et de la réaction) : on impose la continuité cinématique des vitesses à travers l'interface, et on vérifie la continuité des efforts grâce à la formulation variationnelle choisie. Cette approche a été reprise dans les calculs d'aéroélasticité instationnaire effectués à l'Université de Boulder en liaison avec le projet INRIA-NSF sur les calculs à échelle multiple;

2.

utiliser pour chaque sous-système les formulations classiques les plus adaptées au sous-problème considéré : pour le fluide formulation ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) avec actualisation de la géométrie du domaine par un algorithme d'adaptation de maillage ou formulation Eulerienne avec condition de transpiration, formulation en Lagrangien total pour la structure;

3.

utiliser des schémas d'intégration en temps implicites sur les termes de couplage. Il a été montré au niveau théorique qu'un schéma d'Euler implicite n'introduisait pas d'instabilités artificielles, et au niveau pratique qu'un schéma de point milieu totalement couplé était à la fois stable, précis, et parfaitement conservatif;

4.

calculer les grands déplacements de la structure sans approximations de la géométrie, y compris pour les coques, à l'aide de modèles dits géométriquement exacts (modèles étudiés les années passées), et contrôler strictement dans ce calcul l'erreur de discrétisation commise;

5.

utiliser des algorithmes de couplage simples et faciles à implémenter. Un algorithme de type point fixe relaxé a été proposé, analysé et validé sur le cas du fonctionnement d'un amortisseur hydraulique à clapets souples. Des algorithmes à intégration décalée ou des algorithmes de type décomposition de domaines peuvent être aussi utilisés.

Le premier problème à surmonter dans cette approche est de savoir discrétiser proprement les différentes composantes du système étudié. Ce problème déborde en fait largement du cadre fluide-structure.

Dans la simulation numérique de tous les problèmes de mécanique liés à l'industrie (pneumatiques, plate-formes pétrolières, etc.), il est indispensable de savoir contrôler l'erreur induite par les approximations. Dans ce cadre, on utilise les estimateurs d'erreur a posteriori, soit pour contrôler l'erreur, soit pour adapter le maillage utilisé afin de diminuer le coût de calcul. Notre contribution ici consiste à définir, analyser, implémenter et valider numériquement des estimateurs d'erreurs a posteriori du type résidu ou de type hiérarchique pour des problèmes elliptiques non homogènes (voir [[23]]) . En particulier, nous sommes particulièrement intéressés, en liaison avec le projet MOSTRA, par les problèmes d'élasticité en grandes déformations avec coefficients élastiques fortement hétérogènes.

Le second problème est ensuite d'adapter et d'appliquer ces techniques à la solution de problèmes industriels ou médicaux complexes, comme les calculs d'écoulements autour des grands ponts, ou l'analyse des anévrismes. L'anévrisme cérébral chez l'homme est une dilatation sacciforme localisée de la paroi artérielle. Du fait de ces complications (thromboses, compression, rupture), cette lésion peut avoir des conséquences individuelles dramatiques. Ces anévrismes sacciformes sont implantés dans un embranchement artériel où se produit une forte interaction entre l'écoulement sanguin et les déformations des parois. Le problème est alors de prédire et d'analyser les contraintes hémodynamiques afin d'étudier la genèse et l'évolution pré et postopératoire des cavités anévrismales. Mais pour ce faire, il faut déjà connaitre la configuration du col de l'anévrisme de de la zone de division vasculaire au voisinage du col. Cette configuration étant inconnue, la stratégie va donc consister à effectuer dans un premier temps un angiographie RMN associée à une vélocimétrie, chez des malades volontaires à distance de toute complication. L'angiographie va permettre de définir le contour de la malformation, la vélocimétrie de fournir une information qualitative sur le champ de vitesses sanguin, utile pour valider le modèle et définir les conditions aux limites. Une fois la paroi de l'anévrisme acquise, il s'agira de la mailler par éléments finis, puis de discrétiser le problème fluide interne, et enfin de calculer par éléments finis les grandeurs mécaniques et les contraintes à la paroi, en utilisant les stratégies de couplage fluide-structure préalablement développées.

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