Projet : M3N - Analyse Particulaire et Fluides Complexes

Participants : Jean-François Bourgat, Patrick Le Tallec, François Mallinger, Yu.E. Gorbatchev , M. Ivanov , G. Markelov .

Résumé :

Des tests numériques fins pour les équations de Boltzmann dans des situations hyperboliques hors-équilibres ont été réalisés. Des comparaisons avec un code de l'ITAM ont été faites.

Dans le cadre d'un contrat DRET avec l'ITAM et l'INRIA, nous avons calculé un écoulement hypersonique autour d'une rampe de compression afin de comparer les résultats obtenus par les codes ``Boltzmann'' des deux équipes.

C'est un test bidimensionnel difficile avec interaction onde de choc-couche limite et une zone de recirculation lente a s'établir. De plus, l'écoulement semi-raréfié nécessite des pas d'espace et de temps trés fins.

Des résultats numériques compatibles avec l'expérience ont été obtenus par les deux codes, tant sur la zone de recirculation que sur la distribution de coefficients à la paroi. Le modèle Navier-Stokes avec glissement est encore insuffisant dans ce cas.

D'autre part des modèles d'énergie de vibration ont été étudiés et testés au niveau numérique. Différentes approximations ont été dérivées pour des températures modérées, voir [[45]]

Modèle BGK pour le calcul d'écoulements raréfiés

Participants : Jean-François Bourgat, Patrick Le Tallec, Benoit Perthame, Pierre Andries, Jean-Philippe Perlat.

Résumé :

Nous avons introduit des modèles de relaxation qui simplifient le noyau de collision de Boltzmann pour la description d'écoulements dilués polyatomiques. Des études théoriques montrent la dissipation d'entropie et des tests numériques permetent de cerner les conditions de validité de ces modèles.

La résolution des modèles de Boltzmann étant très coûteuse, diverses approches sont étudiées pour simplifier les équations. Une approche suivie à M3N les années passées s'appuie sur les modèles dits de thermodynamique étendue et plus précisément ceux de Levermore permettant de réduire la dimension des calculs (de 7D à 3D). Cette année nous nous sommes intéressés au noyau de collision lui-même qui intervient à la fois dans les modèles de Levermore et ceux de Boltzmann.

En collaboration avec le CEA-CESTA, nous avons proposé et étudié des modèles simplifiés appelés modèles de BGK. Dans le cadre monoatomique nous avons résolu un problème ancien qui était de vérifier la condition d'entropie. Dans le cadre polyatomique nous avons introduit des modèles nouveaux ayant la particularité de réduire la dimension des calculs de 7D à 6D.

Afin de valider ce modèle BGK monoatomique, nous l'avons comparé à la simulation Monte-Carlo standard de l'équation de Boltzmann pour l'écoulement d'un gaz raréfié. Différents essais sur une plaque, pour un nombre de Knudsen assez petit $\sim$ 5. 10^-3, ont donné des résultats assez voisins pour les différents cas traités (froid, chaud, H.S., V.H.S.).

D'autre part, le choix d'un nombre de Prandtl Pr = 2/3 qui s'obtient en dérivant les équations de Navier-Stokes de l'équation de Boltzmann via un développement de Chapman-Enskog donne de bien meilleurs résultats en couche limite que Pr = 1 (meilleure valeur du maximum de température et du saut de température à la paroi).

Sur le test plus difficile d'une rampe de compression, les résultats obtenus avec BGK monoatomique sont moins bons. Le double choc est gommé et la zone de recirculation est trop importante. Il faudra vérifier s'il en est de même pour le modèle BGK diatomique, étudié par P. Andries, qui donne de bons résultats sur la plaque.

Dynamique de bulles et de particules dans un fluide

Résumé :

Nous avons poursuivi la modélisation des mouvements de bulles ou de particules dans un fluide en ajoutant aux forces d'interaction de masse ajoutée et de gravité, les forces de frottement dues à la viscosité du fluide et les collisions entre particules.

La loi de frottement choisie (loi de Stokes ou de Levich pour les bulles) n'est valable que pour des particules de petit diamètre, elle induit une vitesse limite proportionnelle au carré du diamètre des particules, et par conséquent, lorsque ce diamètre tend vers zéro, les forces d'interaction entre les particules, fonction de leurs vitesse, deviennent négligeables devant le frottement et la gravité. Nous avons donc mis en évidence un intervalle de taille de particules pour lesquelles notre modèle d'interaction est utilisable.

Nous avons modélisé les collisions par le modèle HS (Hard Spheres) qui conserve les quantités de mouvement et les énergies. On ne calcule les collisions qu'entre deux particules mais avec un pas de temps suffisamment fin, les multi-collisions sont stables. Ce modèle de collision est robuste et résiste aux fortes concentrations. Un terme d'amortissement peut être introduit afin de diminuer le rebond selon l'axe des deux particules. On perd la conservativité mais on amortit les vibrations qui peuvent s'établir pour une paire de particules restant au contact. Cette modélisation des phénomènes à courte distance doit être validée car elle influe fortement sur la dynamique des particules.

Notre formulation position-vitesse, plus pratique que la formulation positions-impulsions utilise un modèle potentiel pour le fluide. Ce modèle est approché par un développement de l'interaction de deux bulles en fonction du rapport rayon/distance des bulles. Ce développement tronqué à l'ordre deux donne une évolution plus précise et plus robuste qu'avec l'ordre un.

De nombreux essais avec de petits nombres de bulles ont mis en évidence des phénomènes d'attraction dans le plan perpendiculaire aux forces de gravité et des phénomènes de répulsion dans la direction de la gravité. Entre les deux on peut oberver le phénomène de ``kissing and tumbling''.

Pour l'ascension d'un grand nombre de bulles (il est possible d'étudier un nuage de 1000 bulles en dimension 3) ayant une vitesse initiale nulle, nous observons tout d'abord la formation de petits agglomérats mais avec la dilatation du nuage dans la direction de la gravité, il n'y a plus, à la longue, que des paires et des bulles seules. Donc l'interaction des bulles correspond globalement à une surpression dilatant le nuage verticalement.

Il est possible de poursuivre des études numériques dans de nombreuses directions, mais nous manquons de repères physiques pour valider.

Une formulation cinétique de l'équation de Helmholtz

Le formalisme de Wigner a été étudié pour les équations de Helmholtz afin d'en justifier la limite haute fréquence. Partant de la fonction d'onde décrite par

$\displaystyle \Delta$ u + $\displaystyle \omega^{2}_{}$ n²u = $\displaystyle \delta$ (x)

w(x, $\displaystyle \xi$ ) = TF_y u(x + $\displaystyle {\frac{\varepsilon y}{2}}$ ) $\displaystyle \bar{u}$ (x - $\displaystyle {\frac{\varepsilon y}{2}}$ )

$\displaystyle \xi$ . $\displaystyle \nabla_{x}^{}$ w + $\displaystyle \nabla_{x}^{}$ $\displaystyle {\frac{n^2}{2}}$ . $\displaystyle \nabla_{\xi}^{}$ w = $\displaystyle \delta$ (x) $\displaystyle \delta$ (| $\displaystyle \xi$ | = 1)

Analyse Particulaire et Fluides Complexes

Ecoulements hypersoniques autour d'un corps concave

Résumé :

Modèle BGK pour le calcul d'écoulements raréfiés

Résumé :

Dynamique de bulles et de particules dans un fluide

Résumé :

Une formulation cinétique de l'équation de Helmholtz

Footnotes