Projet : META2

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Sous-sections

• Processus Stables et Applications Financières
• Techniques de couverture réelle
• Commande stochastique singulière et gestion de portefeuilles avec coûts de transaction

   
Mathématiques Financières

Résumé :

Les activités de mathématiques financières à l'Inria concernent actuellement les projets Meta2, Fractales, Omega, IS2, ainsi que l'équipe de Probabilités appliquées du Cermics.

Les principaux sujets de recherche sont l'estimation et la modélisation des prix des actifs par des processus stables, le calcul numérique des prix d'actifs complexes, l'optimisation dynamique de portefeuilles avec coûts de transaction par des méthodes de commande stochastique, le calcul des stratégies de couverture approchée, les méthodes numériques déterministes et probabilistes en finance [RT96], [[17]].

Une action coopérative, appelée Mathfi, est en place depuis janvier 1998 sur ces thèmes. Elle est décrite à l'adresse web : http://amadeus.inria.fr/~sulem/action.html.

Depuis quelques années, de nouvelles techniques et de nouveaux produits sont apparus sur les marchés financiers pour contrebalancer la grande volatilité des taux d'intérêt et des taux de change. La pratique d'instruments financiers de plus en plus complexes (options, produits de taux d'intérêt...) conduit à une utilisation de techniques avancées d'analyse stochastique et numérique dans les établissements financiers. La théorie financière pose à son tour aux mathématiciens des problèmes stimulants et une interaction fructueuse s'est ainsi établie entre mathématiciens et financiers.

Bien que les liens entre le calcul stochastique et la finance n'aient pas été ignorés comme en témoigne un travail fondamental de Bachelier paru au début du siècle et beaucoup d'autres (on peut citer les noms de Cramer, Feller), ils ont pris un nouveau tournant avec les articles de Black-Scholes et Merton des années 70 sur l'évaluation et la couverture des options (rappelons que ces derniers ont reçu cette année le prix Nobel d'économie). Depuis, ces travaux ont été considérablement améliorés et complétés et toute la théorie développée semblait correspondre aux réalités des marchés financiers.

Cependant, des études récentes ont mis en évidence l'insuffisance de modèles existants et les limites des techniques classiques de couverture. Des problèmes fondamentaux de modélisation restent entiers. Les sujets de recherche que nous développons visent à se rapprocher des conditions du marché par des modélisations plus réalistes des actifs financiers (prise en compte d'événements rares comme d'importantes variations de cours ...), ainsi que par l'étude de techniques de couverture approchée.

Les actions de recherche menées à l'Inria, dans le projet Meta2, en mathématiques financières sont les suivantes.

Processus Stables et Applications Financières

Les modèles usuels de finance font intervenir des processus de diffusion browniens. Les actifs peuvent alors être couverts par des stratégies données sous forme explicite, ou bien calculables de manière approchée. Les calculs approchés reposent soit sur des méthodes de Monte-Carlo combinées avec des techniques de simulation de solutions d'équations différentielles stochastiques, soit sur des méthodes de résolution d'équations aux dérivées partielles paraboliques.

Des études statistiques semblent montrer que les prix d'actions suivent des dynamiques discontinues. Ces modèles rendent mieux compte de certains phénomènes tels que les cracks boursiers, les irrégularités dues aux écarts entre offres d'achat et offres de vente, les interventions d'investisseurs institutionnels, etc.

Récemment, divers auteurs ont donc introduit des modèles sous forme d'équations différentielles stochastiques gouvernées par des processus de Lévy. De sérieux problèmes apparaissent alors : d'un point de vue théorique, les options ne sont plus réplicables par des stratégies d'achat et de vente d'actifs primaires, et donc les prix d'options dans ce contexte ne sont pas clairement définis.

Techniques de couverture réelle

Les modèles utilisés par les praticiens pour décrire les actifs financiers sont des modèles continus. On dispose alors d'une théorie parvenue à maturité ces dernières années, celle des marchés complets qui permet de calculer les prix et les stratégies de couverture des options.

Pourtant, ces stratégies de couverture ne sont pas réalistes. En effet, le ``trader'' ne se couvre qu'à des instants discrets et ne peut intervenir qu'un nombre fini de fois sur le marché par séance. Des travaux théoriques montrent les limites de l'application de la stratégie continue à des temps discrets déterministes : un exemple typique est celui d'un ``call'' à la monnaie à maturité, ou d'une option digitale. Les praticiens sont conscients de ce phénomène et développent des recettes empiriques pour y pallier. Sur ce vaste sujet, des études doivent être menées concernant, pour ne donner que quelques exemples, le calcul des stratégies optimales lorsque l'on fixe le nombre d'interventions et l'étude de l'influence des contraintes sur les stratégies comme la taille du ratio de couverture ou les coûts de transaction.

   
Commande stochastique singulière et gestion de portefeuilles avec coûts de transaction

On étudie la politique optimale de consommation et d'investissement d'un investisseur ayant un compte en banque à taux d'intérêt fixe r et n comptes en actions modélisés par des mouvements Browniens géométriques. Les transactions entre comptes entrainent des coûts proportionnels au montant de la transaction et sont modélisées par des commandes singulières.

On note s₀(t) (resp. s_i(n), i = 1 ^... n) la quantité d'argent investie dans le compte en banque (resp. dans le ième compte en actions) et $\mathcal {L}$_i(t) et $\mathcal {M}$_i(t) les quantités cumulées d'actions de type i achetées et vendues sur l'intervalle de temps (0, t). Les équations d'évolution des comptes sont alors

 

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l}\displaystyle ds_0(t) = (r s_0(... ...\mathcal{M}_i(t), \quad s_i(0^-) = x_i \quad i = 1 \cdots n\end{array} }\right. \begin{array}{l}\displaystyle ds_0(t) = (r s_0(t) - c(t))dt - \su... ...i(t) - d \mathcal{M}_i(t), \quad s_i(0^-) = x_i \quad i = 1 \cdots n\end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{l}\displaystyle ds_0(t) = (r s_0(t... ...\mathcal{M}_i(t), \quad s_i(0^-) = x_i \quad i = 1 \cdots n\end{array} }\right.$$ (21)

où c(t) représente la consommation et les coefficients $\lambda_{i}^{}$ et $\mu_{i}^{}$ sont les coûts de transaction proportionnels. Soit u(c) une fonction d'utilité de type Hara, l'objectif est de maximiser la fonctionnelle

 

$$\int_{0}^{\infty} \delta$$ (22)

sur l'ensemble des politiques admissibles, c'est à dire ne conduisant jamais à la faillite. Dans [[1]], on a montré que la fonction valeur est l'unique solution de viscosité d'une inéquation variationnelle elliptique (I.V.), et on a résolu cette IV par l'algorithme FMGH basé sur l'algorithme de Howard et les multigrilles . Cette étude numérique a permis de déterminer la stratégie optimale d'investissement et de consommation.

Si on s'intéresse à la politique d'investissement seul (c = 0), le critère à maximiser est fonction de la richesse s₀(T) + $$\sum_{i=1}^{n}$$(1 - $$\mu_{i}^{}$$)s_i(T) à un instant Tdonné. On obtient ainsi un problème en horizon infini que nous avons étudié dans [[2]].

Le cas ergodique (maximisation du taux moyen de profit) est étudié dans [[60]].

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