Projet : META2 - Systèmes implicites

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Systèmes implicites

Participants : Ramine Nikoukhah, François Delebecque, S.L. Campbell.

Résumé :

La modélisation des phénomènes physiques conduit souvent à des systèmes implicites. On travaille sur la théorie et les applications de ces systèmes.

De très nombreux phénomènes physiques sont naturellement modélisables par des systèmes d'équations algébrico-différentielles de type

F( $\displaystyle \dot{\xi}$ , $\displaystyle \xi$ , z, t) = 0	(15)
ou
F_k( $\displaystyle \xi_{k+1}^{}$ , $\displaystyle \xi_{k}^{}$ , z_k) = 0	(16)

en temps discret. En fonction du domaine d'application, le modèle (15) est appelé système descripteur, système implicite, DAE (differential-algebraic equations), modèle comportemental, ...

Dans certains cas, même s'il est possible de convertir un modèle implicite en un modèle explicite, il est préférable de garder le modèle implicite pour préserver la structure naturelle du système (par exemple son caractère creux).

La plupart des problèmes classiques de l'automatique tels que la construction d'observateurs, le placement de pôles, le filtre de Kalman, etc ..., peuvent se formuler plus facilement dans un cadre implicite. Il est alors clair que l'étude systématique des propriétés fondamentales des systèmes implicites comme l'existence, l'unicité, la régularité des solutions et l'analyse numérique correspondante sont des points cruciaux pour les applications à l'automatique. De même, le développement de code performant et fiable pour la résolution numérique de ces systèmes est essentiel, aussi bien pour la conception hors ligne de contrôleurs et de filtres, que pour les implémentations temps réel.

Le cas linéaire

Un système linéaire implicite

$\displaystyle \mathcal {E}$ $\displaystyle \dot{\xi}$ = $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \xi$ + $\displaystyle \mathcal {G}$ z

(17)

ou sa version discrète

$\displaystyle \mathcal {E}$ $\displaystyle \xi_{k+1}^{}$ = $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \xi_{k}^{}$ + $\displaystyle \mathcal {G}$ z_k

(18)

conduit à l'étude des propriétés du ``faisceau'' { $\mathcal {E}$ , $\mathcal {F}$ } (en général non carré). Une théorie géométrique générale existe pour les faisceaux de matrices. Cette théorie peut être utilisée pour montrer et souvent généraliser un grand nombre de résultats en théorie des systèmes linéaires. Pour donner un exemple simple, considérons le système

$\displaystyle \dot{x}$ = Ax + Bu.

(19)

Toutes les propriétés de commandabilité de ce système sont contenues dans le faisceau singulier {[I 0],[A B]} qui correspond au système implicite (17) obtenu à partir de (19) en posant $\xi$ = (x, u). Dans cet exemple, le calcul d'un certain sous-espace (ou plus exactement d'une paire de sous-espaces) donne à la fois des propriétés qualitatives de commandabilité et permet de calculer une matrice de gain plaçant les pôles commandables. La géométrie d'un faisceau général peut être assez complexe car on peut combiner de manière combinatoire les sous-espaces associés (noyau, image, modes stables, modes statiques, modes impulsionnels, etc). Ces sous-espaces peuvent être obtenu par des opérations numériques dont on peut contrôler le conditionnement.

Le point de vue implicite est intéressant car il englobe dans un cadre unique les problèmes classiques. Par exemple, il est bien connu que la solution des diverses formes de l'équation de Riccati algébrique peut être construite très efficacement en calculant les sous-espaces stables des Hamiltoniens associés qui sont encore des faisceaux de matrices [[49],[13]]. En fait ce faisceau est associé au système implicite aux deux bouts donné par les conditions nécessaires d'optimalité.

C'est en adoptant ce point de vue qu'on a pu étendre plusieurs résultats classiques au cas implicite, ce qui conduit à des problèmes originaux et à généraliser des concepts bien établis. Montrons celà sur l'observabilité. Considérons le système dynamique à entrée inconnue

$\displaystyle \dot{x}$	=	Ax + Bu + Mv	(2)
y	=	Cx + Du + Nv	(3)

(20a)

où le vecteur v désigne l'entrée inconnue. Dans cette modélisation, ce qui compte est qu'on a des vecteurs inconnus (x et v), des vecteurs connus (u et y) et un ensemble d'équations. Il est donc naturel de considérer le modèle implicite (17) où { $\mathcal {E}$ , $\mathcal {F}$ } est un faisceau arbitraire en posant $\xi$ = (x, v) et z = (u, y) . Pour ce modèle on a pu caractériser complètement les signaux w = H $\xi$ qui peuvent être reconstruits à partir des entrées et sorties connues du modèle (le noyau de H est le sous-espace inobservable).

L'approche consiste à construire par un algorithme (numériquement stable) un certain sous espace $\mathcal {Z}$ associé au modèle implicite (17) qui généralise le sous espace d'inobservabilité classique: tous les signaux de la forme w = H $\xi$ avec ker(H) $\supset$ $\mathcal {Z}$ sont reconstructibles par un observateur causal qui est construit comme un sous produit de l'algorithme [[36]].

On a étudié les problèmes de caractérisation des propriétés géométriques et de stabilité [[12]], filtrage de Kalman [[49],[11],[13]], construction d'observateur [[36]], ``tracking'' [[15]], etc ...On a aussi étudié l'application de ces méthodes aux systèmes classiques par exemple pour la construction du filtre générateur de résidus [[14]] et les problèmes de découplage. On a aussi étudié la construction d'observateur pour des systèmes linéaires non stationnaires [[49]]. Cette classe de systèmes a été beaucoup étudiée ces dernières années et une théorie générale se développe.

Le cas non linéaire

En reprenant le point de vue implicite discuté plus haut pour reformuler des problèmes d'automatique non linéaire, on s'intéresse aux systèmes implicites non linéaires. Ces problèmes sont en général d'indice élevé et/ou mal défini (l'indice d'un système implicite correspond en gros au nombre de fois qu'il faut dériver ses équations pour le rendre explicite), contrairement par exemple au cas des systèmes utilisés pour les simulations en mécanique où l'indice est structurel. Un simple modèle de bras de robot commandé pour suivre une trajectoire peut conduire à un système d'indice cinq.

Contrairement à d'autres approches basées sur l'inversion, pour faire de la commande ou de l'observation, on ne cherche pas une formule explicite, mais on admet que la solution puisse être le résultat d'un solveur numérique implémenté en temps réel. En particulier, pour les problèmes de suivi de trajectoires cela nous a permis de proposer une nouvelle méthode de commande prédictive, appelée DPC (descriptor predictive control). Dans cette méthode, la contrainte de trajectoire est rajoutée aux dynamiques du système pour obtenir un système implicite en (x, u).

L'indice de ce système, souvent élevé, peut aussi être réduit, si la complexité le permet, par des méthodes formelles. Puis, une solution numérique est calculée par un solveur numérique et appliquée sur une fenêtre glissante. Le contrôle obtenu par cette stratégie, n'est en général pas stabilisant. Pour que cette approche puisse marcher, on a montré qu'il faut effectuer un feedback préliminaire linéaire approprié. Ce feedback nécessite encore le calcul de certains sous-espaces liés au faisceau linéaire tangent [[15]].

La même idée a été utilisée pour la construction d'observateurs non linéaires [[34]].

Le cadre implicite est aussi un point de passage obligé pour la définition d'un formalisme modélisant un système hybride général. On s'intéresse à ce problème car même pour modéliser le plus simple des systèmes réels commandés, on doit considérer le couplage d'un système discret (en l'occurence le contrôleur) et l'environnement continu (souvent implicite). On a commencé à un formalisme mathématique pour définir les systèmes hybrides (à composantes continues, discrètes et événementielles) (voir section 5.2).

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