Projet : MODEL

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Sous-sections

• L'échelle des cellules
• L'échelle des rafales
  • Régime transitoire.
  • Régime stationnaire.
• Nos activités de recherche

    
Évaluation de performances

Mots clés : charge, débit, modèle fluide, qualité de service, réseau de communication, système à événements discrets, taux d'utilisation, temps de réponse .

Glossaire :

Temps de réponse délai séparant la sollicitation d'une ressource et la fin de la délivrance du service demandé.

Taux d'utilisation fraction d'un intervalle de temps (éventuellement infini) pendant lequel une ressource est utilisée.

Charge nombre moyen de sollicitations d'une ressource par unité de temps, divisé par la durée moyenne du service.

Qualité de service concept englobant les mesures de performance classiques et des mesures plus récentes proposées dans le monde des réseaux de communication.

Résumé :

Au niveau de l'évaluation des performances, le projet s'intéresse essentiellement aux réseaux de communication. Dans ce contexte, la situation est un peu différente de celle rencontrée dans les études de sûreté de fonctionnement. L'évolution technologique et l'importance croissante des systèmes de communication entraînent des difficultés de nature nouvelle. Il ne s'agit pas seulement d'améliorer les outils d'évaluation existants pour faire face, par exemple, aux problèmes posés par la taille des modèles, mais aussi de trouver des outils d'analyse plus puissants.

En prenant comme référence le cadre des réseaux ATM, nous travaillons essentiellement à deux niveaux d'échelles de temps. À l'échelle de la cellule, qui est l'unité d'information de ce type de support de transmission, des problèmes génériques sont l'évaluation des probabilités de perte dans un commutateur ou l'analyse de différentes politiques d'admission. À un niveau plus élevé, on considère que les entités circulant sont des groupes de cellules appelés rafales. Ceci conduit souvent l'analyste à traiter des modèles à états continus. Nous menons des recherches ayant pour objectif l'étude de ce type de modèles.

L'évaluation des performances des réseaux haut débit [RMV95] donne lieu à de nombreux problèmes nouveaux concernant des processus stochastiques en régime stationnaire et en régime transitoire. Les premières difficultés liées à ces problèmes d'évaluation concernent la modélisation du trafic et du processus des arrivées aux différents nuds d'un réseau de communication. On distingue généralement trois échelles de temps différentes pour la modélisation du trafic, qui sont l'échelle des cellules (nous empruntons la terminologie à celle de la technologie ATM), l'échelle des rafales et l'échelle des appels.

• À l'échelle de temps des cellules, le trafic consiste en des entités discrètes, les cellules, produites par chaque source à un taux qui est souvent plus faible de quelques ordres de grandeur que le taux maximal des liens de sortie des nuds.
• À l'échelle de temps des rafales, la fine granularité de l'échelle cellules est ignorée et le processus d'entrée est caractérisé par son taux instantané. Les modèles fluides apparaissent alors comme un outil de modélisation naturel.
• L'échelle des appels, caractérisée par les temps de séjour des appels arrivant ou par leurs demandes de service, représente la plus grande des trois échelles de temps décrites. Celle-ci est l'échelle de temps classique dans les études de performance (par exemple, dans les études liées aux architectures en informatique). Aujourd'hui, les caractéristiques des réseaux de communication posent des problèmes nouveaux, même à cette échelle. À titre d'exemple, à chaque appel peut être associée une bande passante effective, qui est un nombre réel compris entre le débit moyen et le débit crête requis et qui décrit la quantité de bande passante qui doit être allouée à cet appel de manière à conserver la probabilité de perte de cellules au-dessous d'un certain seuil, bien entendu sous certaines hypothèses.

Les échelles de trafic auxquelles nous nous intéressons plus particulièrement, pour le moment, sont l'échelle des cellules et l'échelle des rafales.

  
L'échelle des cellules

À cette échelle, le trafic consiste en des entités discrètes, les cellules, produites par chaque source. Les processus d'arrivée généralement utilisés dans ce contexte pour modéliser le trafic sont des processus d'arrivée par groupes markoviens, aussi notés BMAP (Batch Markovian Arrival Process).

Un BMAP est un processus de Markov bidimensionnel {A(t), J(t)} où la variable A(t) compte le nombre d'arrivées sur l'intervalle (0, t) et où la variable J(t) représente la phase du processus. Le nombre de phases du processus est en général fini. Le générateur infinitésimal du processus est donné par la matrice

$$\left[\vphantom{ \begin{array}{ccccccc} D_0 & D_1 & D_2 & D_3 & ... ...& . & . \ & & & D_0 & . & . & . \ & & & & . & . & . \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{ccccccc} D_0 & D_1 & D_2 & D_3 & . & . & . \ & ... ... D_1 & . & . & . \ & & & D_0 & . & . & . \ & & & & . & . & . \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccccccc} D_0 & D_1 & D_2 & D_3 & ... ...& . & . \ & & & D_0 & . & . & . \ & & & & . & . & . \end{array} }\right]$$

où les D_k, k $\geq$ 0, sont des matrices carrées de dimension égale au nombre de phases du processus. Pour k $\geq$ 1, les matrices D_k contiennent les taux de transition concernant les arrivées de taille k, avec le changement de phase approprié. La matrice D₀contient, en dehors de sa diagonale, les taux de transition correspondant à un changement de phase sans arrivée de cellules. La matrice D = $\sum_{k=0}^{\infty}$D_k est le générateur infinitésimal du processus de Markov {J(t)}. Le taux moyen d'arrivée en équilibre $\lambda$ du processus {A(t), J(t)} est
$$\lambda = \pi \sum_{k=1}^{\infty} k D_k \mathbbm {1},$$
où $\pi$ est le vecteur ligne des probabilités stationnaires du processus {J(t)} et $\mathbbm {1}$ est le vecteur colonne dont toutes les composantes valent 1.

Les BMAP forment une classe très large. De nombreux processus d'arrivée familiers peuvent être vus comme des BMAP particuliers. Notamment, en prenant D₀ = - $\lambda$, D₁ = $\lambda$ et D_k = 0pour k $\geq$ 2, on obtient un processus de Poisson de taux $\lambda$. Un processus de renouvellement de type phase, de représentation ($\alpha$, T) est un BMAP avec D₀ = T, $D_1 = -T \mathbbm {1} \alpha$ et D_k = 0 pour k $\geq$ 2. Si D₁ est diagonale, et D_k = 0 pour k $\geq$ 2, on obtient un processus de Poisson dont le taux est modulé par un processus de Markov de générateur infinitésimal D = D₀ + D₁. Ce dernier cas particulier de BMAP est aussi appelé un MMPP (Markov Modulated Poisson Process). De plus, tout processus ponctuel peut être approché par un BMAP. Enfin, il est à noter que la superposition de n processus BMAP indépendants est encore un processus BMAP. Cette propriété est particulièrement intéressante pour la modélisation du multiplexage statistique de sources dans les réseaux haut débit.

À l'aide de ces processus BMAP, on peut par exemple modéliser le comportement d'un nud d'un réseau de communication par une file d'attente BMAP/G/1 à capacité finie ou infinie dans le but d'évaluer des mesures de qualité de service comme la loi du nombre de clients en attente, la loi du temps d'attente ou la probabilité de perte de cellules dans le cas d'une capacité finie. Un tutoriel portant sur l'étude de cette file d'attente se trouve dans [Luc93]. Dans le cas d'une modélisation avec une échelle de temps discrète, on obtient de manière similaire au cas du temps continu, des processus d'arrivée, notés D-BMAP qui conduisent à l'étude de files d'attente discrètes du type D-BMAP/D/1. La fine granularité de l'échelle de temps des cellules pose le problème du grand nombre de paramètres à évaluer pour définir le processus des arrivées, et l'une des principales difficultés rencontrée lors de l'étude des files d'attente associées concernent le temps de calcul des mesures recherchées. En effet, les processus BMAP ou D-BMAP sont définis par un certain nombre de matrices dont la taille pose bien évidemment les problèmes classiques au niveau de la complexité des calculs.

  
L'échelle des rafales

A l'échelle de temps des rafales, le trafic est considéré comme continu, c'est pourquoi on parle de modèles fluides, et ce trafic est en général caractérisé par son taux instantané. Les plus connus de ces modèles sont les processus dits on/off et leurs superpositions. On dit que le trafic provenant d'une source est on/off s'il alterne entre des périodes d'activité (les périodes on) et des périodes de silence (les périodes off). Les taux de transmission sont supposés constants durant chaque période on. L'hypothèse de base est que ces processus sont des processus de renouvellements alternés. L'état de la source est alors décrit par un processus semi-markovien. Lorsque ces périodes suivent des lois de type phase, le processus devient markovien et le taux d'entrée devient modulé par un processus de Markov.

Régime transitoire.

On considère un buffer de taille finie ou infinie dont les taux d'entrée et de sortie sont fonctions de l'état d'un processus de Markov {X_s, s $\geq$ 0} sur un espace d'états S, avec générateur infinitésimal A. Si Q_t désigne la quantité de fluide dans le buffer à l'instant t et si $\varrho_{i}^{}$ (resp. c_i) désigne le taux d'entrée (resp. de sortie) dans le (resp. du) buffer lorsque le processus {X_s} est dans l'état i, alors le couple (X_t, Q_t) forme un processus de Markov sur l'espace $\mathbbm {N}\times \mathbbm {R}$. La loi du couple (X_t, Q_t) est donnée par l'équation aux dérivées partielles

 

$${\frac{\partial F_i(t,x)}{\partial t}} \eta_{i}^{} {\frac{\partial F_i(t,x)}{\partial x}} \sum_{r \in S}^{}$$ (1)

où $\eta_{i}^{}$ = $\varrho_{i}^{}$ - c_i et où l'on a posé F_i(t, x) = Pr{X_t = i, Q_t $\leq$ x}. La mesure qui nous intéresse dans ce contexte est la loi du processus d'occupation Q_t du buffer.

Régime stationnaire.

De nombreux travaux dans la littérature ont porté sur l'étude du régime stationnaire. Si X représente l'état stationnaire du processus {X_s} et si Q représente la quantité de fluide dans le buffer en régime stationnaire, alors sous les hypothèses classiques de stabilité, on a l'équation différentielle suivante:

$$\eta_{j}^{}$$$${\frac{d F_j(x)}{dx}}$$ = $$\sum_{i \in S}^{}$$F_i(x)A(i, j),

où F_j(x) = Pr{X = j, Q $\leq$ x}. Ces travaux concernent non seulement le calcul de la loi de Q [AMS82], mais aussi l'obtention de bornes [LNT97] de cette loi ou d'équivalents de la queue de sa distribution dans le but de contrôler l'admission de nouvelles sources par le respect de critères de qualité de service [EM93].

  
Nos activités de recherche

Dans ce domaine, nous nous intéressons aussi bien à l'analyse mathématique de modèles qu'à leur étude par simulation. Nous développons des techniques capables de calculer les probabilités d'état en régime stationnaire, le domaine habituel en évaluation de performances, et en transitoire, ce qui est moins usuel mais de plus en plus nécessaire lors de l'étude d'un système de communication. Au niveau de la simulation, nos efforts portent essentiellement sur les techniques d'accélération en général, et sur la simulation de modèles fluides en particulier.

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