Projet : NUMATH - Controle et Stabilisation

Mots clés : contrôlabilité, stabilisation, commande frontière, commande distribuée, systèmes hybrides .

Participants : Françis Conrad, Geoff O'Dowd, Fatima Zahra Saouri, Marius Tucsnak.

Résumé :

Les travaux relèvent du contrôle et de la stabilisation d'équations aux dérivées partielles d'évolution, au moyen de feedbacks linéaires ou non linéaires, distribués ou frontière. Les applications concernent des systèmes élastiques vibrants tels que : structures spatiales flexibles, antennes, assemblage de systèmes mécaniques, matériaux intelligents, bras robots en torsion ou en flexion, pont roulant.

Etant donné un système élastique vibrant, on cherche des contrôles par retour d'état qui stabilisent le système. C'est une problématique fortement liée à la contrôlabilité exacte. Les contrôles sont distribués ou appliqués sur le bord du domaine, ou sur un ensemble fin de l'intérieur. Ils peuvent faire intervenir des dérivées en temps d'ordre aussi élevé que dans le modèle, par exemple une corde ou une poutre avec masses en des points intérieurs ou frontière. On obtient alors des systèmes dits hybrides (couplage EDP-EDO), dont l'étude présente des difficultés spécifiques.

L'utilisation de multiplicateurs pour obtenir des estimations, le couplage avec la théorie des perturbations compactes de Gibson-Russell, permettent d'obtenir des résultats de stabilité forte ou uniforme, ou de non stabilité selon les commandes. Une question intéressante concerne l'obtention plus explicite du taux de stabilisation, en fonction des lois de feedback. Les ingénieurs mesurent le degré de stabilisation d'un système amorti en calculant le spectre (approché) du système. Il est donc intéressant de savoir si ce spectre caractérise effectivement le taux de décroissance uniforme de l'énergie. Ce problème est non trivial pour les systèmes de dimension infinie, même en dimension un d'espace. Une analyse spectrale fine peut permettre de vérifier dans certains cas que les modes propres du système constituent une base de Riesz de l'espace d'énergie et d'en déduire le taux optimal de décroissance de l'énergie. Parmi les autres thèmes où il reste encore beaucoup de questions ouvertes, on peut citer : le lien entre les problèmes de contrôle en dimension infinie et ceux résultant de l'approximation de ces problèmes en dimension finie ; les applications de l'analyse de Fourier non harmonique au contrôle des structures ; les problèmes de contrôle actif grâce à des matériaux intelligents. Par exemple le couplage fluide-structures : il s'agit de l'étude du contrôle actif d'un écoulement fluide sur la structure environnante grâce à des ``matériaux intelligents''. Ce problème a des applications dans des secteurs comme l'étude des grandes structures spatiales ou la réduction du bruit dans les avions.