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Participants : Gilles Frémiot, Mohammed Hayouni, Arian
Novruzi, Jean Roche, Jan Sokolowski.
Mots clés : optimisation de formes, problèmes inverses, problème variationnel et à frontière libre, théorie du potentiel, dérivée topologique, équation intégrale, méthode de Newton .
Glossaire :
optimisation de formes optimisation du domaine géométrique pour un système décrit par des équations aux dérivées partielles
Nous sommes intéressés par les problèmes d'optimisation de formes issus d'optimisation de structures en mécanique de solides et des problèmes à frontière libre. Nous étudions les conditions d'optimalité pour les problèmes définis sur des surfaces en dimensions 3. D'autre part, on développe des méthodes de type Newton avec des convergences superlinéaires pour traiter les problèmes d'optimisation des formes en trois dimensions.
L'optimisation de formes intervient dans des domaines variés tels que la conception, l'étude de nouveaux matériaux, l'optimisation de pièces sous contraintes (ailes d'avions, moules, ...). Il s'agit de minimiser une fonction coût dépendant de la géométrie du domaine, en général une énergie, sous certaines contraintes. On peut traiter par cette méthode de nombreux problèmes à frontière libre (léviation haute fréquence, problème de contacts pour les coques, ...). Par rapport aux techniques d'optimisation classique, la difficulté réside dans le fait que la solution est un domaine géométrique (un segment, une surface, un volume). Nous devons adapter les méthodes usuelles (dérivation, point critique, ...) à ce nouveau cadre. Une des premières questions à traiter, après l'existence du point critique, pour les méthodes numériques est la caractérisation des conditions d'optimalité du 1er ordre (équation d'Euler généralisée ou inégalité variationnelle) et du 2e ordre. La condition du 1er ordre donne l'équation satisfaite par la solution. La condition du 2e ordre intervient lorsque l'on s'intéresse aux questions de stabilité de la forme, et dans la construction de méthodes numériques de type Newton.
D'un point de vue numérique, l'objectif est de développer des méthodes numériques d'optimisation de formes adaptées pour traiter les problèmes en dimension 3. Pour cela, nous nous intéressons aux méthodes de type Quasi-Newton et Newton qui conduit à des techniques d'optimisation de formes avec des vitesses de convergence superlinéaire. Une des difficultés liées à la méthode de Newton réside dans la construction de la dérivée seconde de l'énergie. Pour résoudre la condition d'optimalité, nous utilisons les méthodes intégrales en posant le problème sur la surface.
Les techniques développées sont de caractère général et sont mises en oeuvre.
Le savoir-faire acquis sur l'analyse mathématique et la simulation numérique de ces modèles nous conduisent à élargir notre champ d'applications et à considérer des problèmes connexes nouveaux à savoir :