Projet :
OMEGA
Précédent : Composition de l'équipe Remonter :
Méthodes numériques
probabilistes pour les Suivant : Fondements
scientifiques
Présentation et objectifs généraux
Le projet OMEGA est bilocalisé entre les unités
de Sophia Antipolis et de Nancy. Sa composante nancéenne est
rattachée à l'Institut Élie Cartan.
Le principal thème de recherche d' OMEGA est
l'analyse de méthodes numériques probabilistes, avec deux champs
d'application privilégiés : la résolution d'équations aux
dérivées partielles non linéaires et la modélisation et la
simulation en mathématiques financières. Les méthodes que nous
étudions impliquent la simulation de processus stochastiques.
L'analyse numérique de ces méthodes en est encore à ses débuts,
alors qu'elles sont utilisées dans l'ingéniérie de pointe de
secteurs industriels divers (secteurs nucléaire, électrique,
électrotechnique et bancaire par exemple) pour résoudre des
problèmes complexes ou de grande dimension. OMEGA
effectue des travaux mathématiques portant sur la représentation
probabiliste de solutions d'équations aux dérivées partielles, la
conception d'algorithmes numériques probabilistes et la vitesse
de convergence de tels algorithmes. Par ailleurs,
OMEGA étudie les performances sur architectures
parallèles des algorithmes développés et analysés. En effet, si
les méthodes de Monte-Carlo sont souvent très bien adaptées à la
programmation parallèle, c'est moins évident pour les méthodes
qui font intervenir la simulation de particules dépendantes ou la
simulation de processus à temps de vie aléatoire.
La théorie des processus stochastiques, en particulier des
problèmes d'approximation de processus, est l'outil mathématique
essentiel et commun à tous les problèmes traités.
En ce qui concerne la
résolution probabiliste d'équations aux dérivées partielles non
linéaires, OMEGA étudie les méthodes de
Monte-Carlo, les méthodes particulaires stochastiques et les
méthodes ergodiques. Actuellement, nous nous intéressons
essentiellement à leurs applications aux équations de la
Mécanique des fluides (Burgers, Navier-Stokes, etc.), aux
équations du transport neutronique et aux modèles aléatoires de
la turbulence ; certaines équations linéaires servent de
problèmes de laboratoire pour l'étude des difficultés spécifiques
liées aux conditions aux bords, aux dégénérescences des
opérateurs différentiels sous-jacents, aux phénomènes de fausses
convergences, etc. Nous effectuons des études d'erreur
d'approximation non asymptotiques, afin de donner des bornes pour
l'erreur correspondant à tout choix des paramètres numériques :
nombre de particules, pas de discrétisation en temps, temps
d'intégration, nombre de simulations, etc. En amont, l'étape-clef
consiste à interpréter l'algorithme comme la discrétisation d'une
représentation probabiliste de la solution de l'EDP : une part de
l'activité d' OMEGA concerne donc l'élaboration de
représentations probabilistes appropriées. En aval, les
estimations théoriques de vitesse de convergence sont
systématiquement confrontées aux simulations numériques.
En mathématiques financières et en actuariat,
OMEGA s'intéresse plus particulièrement aux
méthodes de Monte-Carlo et aux modèles de marché. Les problèmes
abordés actuellement concernent essentiellement l'évaluation
numérique de prix d'actifs complexes, la robustesse des
stratégies de couverture des produits dérivés par rapport aux
erreurs de modélisation et le calcul de stratégies de gestion du
risque. Les modèles financiers posent des problèmes
d'approximation spécifiques : simulation de fonctionnelles
path dependent et calcul de dérivées d'espérances de ces
fonctionnelles. OMEGA s'intéresse aussi à la
définition de mesures de risque utilisables en pratique et
cohérentes avec un modèle mathématique du marché. Nous étudions
également des problèmes d'adossement et de risques de défaut de
trésorerie. Un accent particulier est porté sur la confrontation
des modèles et des résultats numériques avec les données réelles.
Précédent : Composition de l'équipe Remonter :
Méthodes numériques
probabilistes pour les Suivant : Fondements scientifiques