Projet : OMEGA

Précédent : Analyse stochastique des algorithmes Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Modèles financiers avec asymétrie d'information

   
Équations algébro-différentielles stochastiques et simulation de bruit thermique dans les circuits intégrés

Participant : Oliver Schein.

Dans l'ingénierie de pointe, les logiciels comme TITAN ou SPICE sont devenus des outils indispensables pour la simulation numérique des circuits intégrés. La méthode de l'analyse des noeuds modifié (MNA) génère automatiquement des équations algébro-différentielles (EADs) de dimension élevée qui décrivent le comportement temporel des potentiels et courants du circuit.

Dans le cadre déterministe, l'analyse théorique et la résolution numérique des EADs ont beaucoup progressé dans la dernière décennie. Pourtant, du fait de la forte croissance de l'intégration des circuits, on est amené à modéliser et traiter aussi les effets de bruit des circuits, par exemple le bruit thermique dans leurs résistances.

Ainsi, on obtient des équations EADs stochastiquement perturbées. A cause du caractère implicite des équations et des contraintes algébriques cachées, la modélisation mathématique et le développement de méthodes de résolutions efficaces sont rendus difficiles.

On a pu démontrer l'existence et l'unicité au sens trajectoriel d'un processus gaussien (x) pour une EAD du type

C(t)$${\frac{d}{dt}}$$$$\left(\vphantom{P\cdot x}\right.$$P ^. x$$\left.\vphantom{P\cdot x}\right)$$(t) + $$\left(\vphantom{G - C\dot{P}}\right.$$G - C$$\dot{P}$$ $$\left.\vphantom{G - C\dot{P}}\right)$$(t) ^. x(t) + s(t) + B(t) ^. $$\nu$$(t) = 0,    t $$\in$$ [0, T]

d'indice 1, additivement perturbée par un processus d'Ornstein-Uhlenbeck ($\nu$) modélisant le bruit thermique. Dans le cas d'un système d'indice 2, la solution existe sous des conditions matricielles qui sont toujours vérifiées si le système décrit un circuit réel sous bruit thermique. Le théorème limite obtenu montre que la partie différentielle de la solution (x) tend toujours vers un processus d'Itô, solution de l'EDS limite sous-jacente au système, si le processsus ($\nu$) tend vers un bruit blanc. Il spécifie aussi les conditions sous lesquelles la partie algébrique de la solution reste une fonction déterministe. Ceci rend plus clair le rapport entre la simulation de circuits et la règle de Nyquist pour le bruit thermique dans les résistances.

Les problèmes abordés actuellement sont le développement et la mise en place des méthodes numériques pour le traitement des systèmes étudiés ainsi que la simulation de bruit pour une suite de circuits de test fournie par SIEMENS.

Précédent : Analyse stochastique des algorithmes Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Modèles financiers avec asymétrie d'information