<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2//EN">
<!--Converted with LaTeX2HTML 98.1p1 release (March 2nd, 1998)
originally by Nikos Drakos (nikos@cbl.leeds.ac.uk), CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others -->

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  "HTML Tidy for Mac OS X (vers 31 October 2006 - Apple Inc. build 13), see www.w3.org">

  <title>Projet : ONDES - Fondements scientifiques</title>
  <meta name="description" content="Fondements scientifiques">
  <meta name="keywords" content="ondes">
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  <a href="http://www.inria.fr/Equipes/ONDES-fra.html">Projet :
  ONDES</a>

  <p><a name="tex2html124" href="prese.html"><img width="24"
  height="24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html130" href=
  "ondes.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
  "tex2html133" href="fonde_module-3.html"><img width="24" height=
  "24" align="bottom" border="4" alt="next" src=
  "../icons/next_motif.gif"></a> <a name="tex2html132" href=
  "ondes.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html125" href=
  "prese.html">Présentation et objectifs généraux</a>
  <b>Remonter&nbsp;:</b> <a name="tex2html131" href=
  "ondes.html">Modélisation et Simulation de Phénomènes</a>
  <b>Suivant&nbsp;:</b> <a name="tex2html134" href=
  "fonde_module-3.html">Simulation précise et rapide
  pour</a><br></p>
  <hr>

  <p><!--End of Navigation Panel--></p>

  <h1><a name="SECTION00030000000000000000">&nbsp;</a> <a name=
  "ONDES_fondements_">&nbsp;</a><br>
  Fondements scientifiques</h1><a name=
  "ONDES_fondements_module-2">&nbsp;</a>

  <p>Notre activité repose avant tout sur l'existence de modèles
  mathématiques issus de la physique. Il s'agit d'équations ou de
  systèmes d'équations aux dérivées partielles de type hyperbolique
  (pour reprendre la terminologie mathématique). Les modèles de
  base, qui s'appuient sur une physique simplifiée, sont linéaires.
  Le prototype en est l'équation des ondes : 
  <!-- MATH: \begin{displaymath}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \Delta u = 0,
\end{displaymath} --></p>

  <div align="center">
    <img width="27" height="45" align="middle" border="0" src=
    "img2.gif" alt=
    "$\displaystyle {\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}}$"> -
    <i>c</i><sup>2</sup><img width="14" height="11" align="bottom"
    border="0" src="img3.gif" alt="$\displaystyle \Delta$"><i>u</i>
    = 0,
  </div>qui s'applique directement aux ondes acoustiques mais
  constitue un modèle scalaire simplifié pour les autres types
  d'onde. C'est pourquoi le développement de nouvelles méthodes
  numériques passe souvent par son application à l'équation des
  ondes. Une physique plus réaliste vient en général enrichir ces
  modèles de base et en accroître la complexité : conditions aux
  limites, termes non linéaires, termes intégro-différentiels,
  couplages de modèles,...

  <p>Il est commun de distinguer deux types de problèmes associés à
  ces modèles: les problèmes en temps (ou problèmes transitoires)
  et les problèmes en fréquence (ou problèmes harmoniques). Dans le
  premier cas, le temps fait explicitement partie des variables de
  l'inconnue du problème et on s'intéresse alors à un problème
  d'évolution. Dans le second cas, la dépendance en temps est
  imposée a priori, par l'intermédiaire de la source par exemple.
  Elle est supposée périodique en temps, et même harmonique : on
  cherche une solution proportionnelle à 
  <!-- MATH: $e^{i \omega t}$ -->
  <i>e</i><sup>i<img width="10" height="10" align="bottom" border=
  "0" src="img4.gif" alt="$\scriptstyle \omega$">t</sup>, où 
  <!-- MATH: $\omega > 0$ -->
  <img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src=
  "img5.gif" alt="$ \omega$"> &gt; 0 désigne la pulsation (on parle
  aussi de fréquence). Le temps n'intervient alors plus que par
  l'intermédiaire de cette fréquence, qui joue le rôle de
  paramètre, et l'inconnue recherchée est une fonction des seules
  variables spatiales. Ainsi, l'équation des ondes donne naissance
  à l'équation de Helmholtz <!-- MATH: \begin{displaymath}
- c^2 \Delta u - \omega^2 u = 0.
\end{displaymath} --></p>

  <div align="center">
    - <i>c</i><sup>2</sup><img width="14" height="11" align=
    "bottom" border="0" src="img3.gif" alt=
    "$\displaystyle \Delta$"><i>u</i> - <img width="17" height="29"
    align="middle" border="0" src="img6.gif" alt=
    "$\displaystyle \omega^{2}_{}$"><i>u</i> = 0.
  </div>Il convient de souligner que ces deux types de problèmes,
  bien qu'issus d'une même modélisation physique, ont des
  propriétés mathématiques radicalement différentes et nécessitent
  le développement de méthodes numériques adaptées. En outre, la
  justification mathématique précise du passage de l'un à l'autre
  s'avère souvent délicate. Enfin, signalons que les problèmes
  harmoniques n'ont, du moins en toute rigueur, plus d'objet dès
  que le modèle mathématique devient non linéaire.

  <p>Toutefois, il est un point commun entre ces problèmes :
  l'existence d'une dimension caractéristique qu'on appelle la
  longueur d'onde. Très intuitivement, cette dimension est la
  longueur sur laquelle la solution recherchée varie
  substantiellement (typiquement la période d'une solution
  périodique). Dans le cas d'une propagation en milieu hétérogène,
  il conviendra de parler de plusieurs longueurs d'onde, celle-ci
  pouvant varier d'une région de l'espace à l'autre. Sa
  connaissance a bien entendu une influence fondamentale sur les
  propriétés de la solution et donc sur le choix d'une méthode
  numérique. Un problème sera considéré comme de grande taille si
  le rapport entre la taille de ce problème (à savoir la taille du
  domaine de calcul dans le cas d'un problème harmonique ou la
  distance parcourue par l'onde pendant le temps d'intégration dans
  le cas d'un problème transitoire) et la longueur d'onde est
  grand.</p>

  <p>Actuellement, on maîtrise bien les méthodes numériques pour
  résoudre les problèmes académiques ou industriels de base.
  Beaucoup de compagnies possèdent des codes de calcul s'appuyant
  sur des méthodes de nature diverse et de précision peu élevée
  (typiquement du second ordre par rapport aux paramètres de
  discrétisation). Ces méthodes sont fiables et leurs limites en
  général bien cernées. En revanche les problèmes plus complexes et
  plus proches des applications restent largement ouverts et
  constituent un champ d'investigation très fertile pour les
  mathématiques appliquées. Les recherches en Mathématiques
  Appliquées s'orientent maintenant dans les directions suivantes
  :</p>

  <ul>
    <li>Concevoir de nouvelles méthodes plus précises et plus
    performantes</li>

    <li>Traiter des modélisations de plus en plus complexes :
    modèles non locaux, modèles non linéaires, systèmes
    couplés,...</li>

    <li>S'intéresser à des phénomènes spécifiques : ondes guidées,
    résonances, singularités de solutions</li>

    <li>Développer des modèles approchés</li>
  </ul>C'est dans ce cadre que s'inscrivent les problématiques
  abordées par le projet Ondes.

  <p><br></p>
  <hr>
  <!--Table of Child-Links-->
  <a name="CHILD_LINKS">&nbsp;</a>

  <ul>
    <li><a name="tex2html135" href="fonde_module-3.html">Simulation
    précise et rapide pour la propagation d'ondes</a></li>

    <li><a name="tex2html136" href="fonde_module-4.html">Problèmes
    en géométrie complexe</a></li>

    <li><a name="tex2html137" href="fonde_module-5.html">Résolution
    de Problèmes en milieux non bornés</a></li>

    <li><a name="tex2html138" href="fonde_module-6.html">Modèles
    asymptotiques ou approchés</a></li>

    <li><a name="tex2html139" href="fonde_module-7.html">Hautes
    fréquences</a></li>

    <li><a name="tex2html140" href="fonde_module-8.html">Milieux
    complexes</a></li>

    <li><a name="tex2html141" href="fonde_module-9.html">Le guidage
    des ondes</a></li>

    <li><a name="tex2html142" href=
    "fonde_module-10.html">Résonances</a></li>

    <li><a name="tex2html143" href="fonde_module-11.html">Ondes non
    linéaires</a></li>

    <li><a name="tex2html144" href="fonde_module-12.html">Calcul
    parallèle</a></li>
  </ul><!--End of Table of Child-Links-->
  <br>
  <hr>
  <a name="tex2html124" href="prese.html"><img width="24" height=
  "24" align="bottom" border="4" alt="previous" src=
  "../icons/previous_motif.gif"></a> <a name="tex2html130" href=
  "ondes.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="up" src="../icons/up_motif.gif"></a> <a name=
  "tex2html133" href="fonde_module-3.html"><img width="24" height=
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  "ondes.html"><img width="24" height="24" align="bottom" border=
  "4" alt="contents" src="../icons/contents_motif.gif"></a><br>
  <b>Précédent :</b> <a name="tex2html125" href=
  "prese.html">Présentation et objectifs généraux</a>
  <b>Remonter&nbsp;:</b> <a name="tex2html131" href=
  "ondes.html">Modélisation et Simulation de Phénomènes</a>
  <b>Suivant&nbsp;:</b> <a name="tex2html134" href=
  "fonde_module-3.html">Simulation précise et rapide pour</a>

  <p><!--End of Navigation Panel--></p>
</body>
</html>
