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Ondes non
linéaires
Les fréquences de résonance constituent une notion qui est
facilement accessible à l'intuition, mais délicate à définir
proprement sur le plan mathématique surtout lorsqu'elles sont
associées à des problèmes de propagation en milieu non borné (ce
qui constitue le cas intéressant scientifiquement). Ces
fréquences sont intimement liées au développement de la théorie
du ``scattering'' (travaux de Lax et Phillips) : ce sont des
nombres complexes qui apparaissent comme les pôles du
prolongement méromorphe d'une famille d'opérateurs dépendant de
la fréquence réelle 
(ces opérateurs sont
encore appelés matrices de Scattering).
Physiquement, on appelle souvent fréquences de résonance, les fréquences pour lesquelles la réponse d'un milieu ou d'un objet soumis à une excitation périodique en temps présente brutalement un maximum : on dit alors que le milieu (ou l'objet) rentre en résonance, phénomène auquel chacun est un jour ou l'autre confronté dans la vie courante. Le lien avec les pôles de résonance introduits plus haut est le suivant: ces fréquences physiques correspondent aux parties réelles des pôles, l'amplitude de la réponse étant elle directement reliée à la partie imaginaire des pôles (plus grande est celle-ci, plus faible est la réponse). On comprend alors l'importance pour les applications de la connaissance de ces pôles (détection radar, stabilité d'un navire soumis à la houle, instruments de musique,...). En outre, les fréquences de résonance complexes permettent de décrire (à l'aide d'exponentielles complexes) le comportement aux temps longs de problèmes de propagation en milieu ouvert : elles sont donc potentiellement exploitables pour un calcul en transitoire.
Méthodologiquement, l'approche numérique des problèmes de résonances n'est pas sans point commun avec celle des problèmes d'ondes guidées mais présente des aspects très spécifiques, qui demandent de bien connaître la théorie des fonctions de la variable complexe, et des difficultés nouvelles (opérateurs non auto-adjoints, recherche de zéros dans le plan complexe,...)