Projet : ONDES - Couches minces et ferromagnétisme

Mots clés : ferromagnétisme, électromagnétisme, équations de Maxwell, développement asymptotique, couches minces, conditions équivalentes .

Résumé :

Dérivation de conditions aux limites équivalentes afin de modéliser la diffraction d'une onde électromagnétique par un obstacle réfléchissant, couvert d'une fine couche de matériau ferromagnétique.

Les matériaux ferromagnétiques possèdent une aimantation naturelle, qui interagit de manière non linéaire avec les ondes électromagnétiques (nous considérons ici le cas des matériaux saturés obéissant à la loi de Landau-Lifschitz-Gilbert). Cette interaction induit en particulier une dissipation de l'énergie de l'onde, et confère donc à ces matériaux la particularité d'être absorbants. Nous nous intéressons à leur utilisation en tant que revêtements furtifs. Dans ces cas, ils occupent généralement une couche de très faible épaisseur (comparée, par exemple, à la longueur de l'onde incidente). C'est pourquoi il semble intéressant (voire nécessaire), numériquement, de pouvoir représenter l'action de cette couche par une condition aux limites ``approchée'' de type absorbant.

Notre premier objectif était la finalisation de l'étude du problème monodimensionnel [[47]]. Nous avons proposé, pour ce modèle simplifié, une méthodologie formelle de dérivation de ces conditions équivalentes, méthodologie basée sur des développements asymptotiques par rapport à l'épaisseur de la couche ferromagnétique. Cette méthode se généralise au cas d'un problème 3D, lorsque la géométrie de l'obstacle est régulière (rédaction en cours). Signalons que le cas des singularités géométriques, de type coins par exemple, n'a pas été étudié et demande des développements supplémentaires. Dans le cas monodimensionnel, deux conditions approchées ont été étudiées. La première, donne une approximation d'ordre 3 par rapport à l'épaisseur de la couche. Elle s'obtient, de manière naturelle, en considérant les trois premiers termes du développement asymptotique. La deuxième condition, d'ordre 4, nécessite cependant un traitement supplémentaire : la condition obtenue, en considérant les quatre premiers termes du développement asymptotique, s'avère fortement instable. Pour en déduire une condition stable, nous avons recours à une technique, déjà connue pour la dérivation de conditions transparentes d'ordre élevé, qui consiste à remplacer l'opérateur instable par son développement de Padé à un ordre convenable. Ces deux conditions, pour lesquelles on a démontré la stabilité du problème continu, ont été implémentées et testées numériquement. Deux schémas numériques de différences finis, basés sur le schéma de Yee, ont été proposées pour la discrétisation de la condition d'ordre 3. Le premier schéma, explicite, admet une condition de stabilité qui dépend de l'épaisseur de la couche et qui est plus restrictive que la condition CFL classique , surtout lorsque l'épaisseur tend vers 0. Par contre, dans le cas du deuxième schéma, implicite, la condition de stabilité est la même que la condition CFL, indépendante de l'épaisseur de la couche. C'est pourquoi ce dernier schéma convient mieux aux applications pratiques. Un schéma analogue a été proposé pour la condition d'ordre 4. Nous avons entrepris, par ailleurs, la justification rigoureuse des ordres d'approximation fournis par ces conditions équivalentes. Ce travail fera l'objet d'un prochain rapport de recherche INRIA. L'étude du problème 2D a abouti à une première validation numérique, dans le cas d'un frontière droite, de la condition d'ordre 2. Notre prochain objectif est de compléter et approfondir cette première étude, et d'entamer l'étude du problème tridimensionnel; un obstacle pratique à surmonter est l'absence de résultats de référence dans ce cas. Nous envisageons d'autre part la généralisation de nos résultats aux cas des couches à caractéristiques rapidement variables dans les directions parallèles à la surface de l'obstacle, de manière périodique.