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Calcul direct
des solutions multivaluées
Participants : Eliane Bécache, Francis Collino, Patrick
Joly.
Mots clés : fils, domaines fictifs .
Dans le cadre des phénomènes de diffraction d'ondes en régime
harmonique, nous avons poursuivi l'étude d'une nouvelle
approximation filaire, obtenue à partir de l'équation intégrale
issue de la méthode des domaines fictifs développée par C.
Atamian et P. Joly. Un développement asymptotique de cette
équation intégrale par rapport au rayon du fil a conduit à de
nouvelles équations filaires. Un début d'analyse de cette
nouvelle équation a été menée dans le cas statique, en
s'inspirant des travaux de F. Rogier pour l'approximation filaire
issue de la théorie classique des potentiels. La mise en oeuvre
numérique de l'approximation filaire issue des domaines fictifs
(dans le cas statique) a fait l'objet d'un stage de l'Ecole
Polytechnique effectué par Inna Mikhailova et a donné lieu à des
résultats préliminaires. Nous avons par ailleurs également
implémenté l'approximation filaire classique (toujours dans le
cas statique). La comparaison numérique de ces deux méthodes est
en cours.
Par ailleurs une étude, réalisée avec F. Millot dans le cadre de la collaboration Cerfacs à Toulouse, a porté sur l'incorporation de fils minces dans les formulations volumiques des équations de Maxwell en régime temporel. L'idée est de construire un modèle basé sur une approximation quasi-statique du champ électrique au voisinage du fil. Ce modèle correspond à un problème mathématique bien posé car conservant une énergie. Il s'écrit sous la forme d'un problème d'évolution variationnel et se prête donc bien à une discrétisation par éléments finis en espace et différences finies en temps. On choisit des éléments finis et une technique d'assemblage qui redonnent le schéma de Yee en l'absence du fil et deux schémas de discrétisation en temps pour les termes additionnels dus au fil. Le premier redonne le schéma aux différences finies proposé par Holland et qui est très utilisé dans les codes industriels. Notre modèle fournit donc le cadre mathématique sous-jacent du schéma de Holland. Le second est un schéma original qui présente l'avantage d'être stable sous la condition de stabilité usuelle, c'est à dire indépendamment de la présence ou de la grosseur du fil. Il est donc une alternative intéressante au schéma de Holland qui souffre de problèmes de stabilité. L'étude est complétée par la détermination de l'inductance artificielle optimale qui est un paramètre clé de la méthode. Une formule explicite est donnée dans le cas d'un fil parallèle aux axes du maillage. Les résultats des expériences numériques confirment nos conclusions théoriques. Signalons pour finir une retombée intéressante par elle-même de notre travail qui est la détermination du comportement asymptotique de la fonction de Green de l'équation d'Helmholtz bidimensionnelle discrétisée avec un laplacien à cinq points.