Projet : PROMATH

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Optimisation dynamique

Les problèmes de commande optimale connaissent actuellement une importance accrue liée à l'introduction de nouvelles technologies dans les domaines suivants : trafic aérien, pollution automobile, biodégradation de déchets. Ils sont toujours importants pour les applications ``classiques'' concernant les engins guidés, les avions spatiaux, et le génie des processus.

Le problème modèle a la structure suivante

 

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathop {\rm Min... ...\quad y(0)=y_0, \ \ C(y(t),u(t)) \leq 0, \; t\in [s,T]. \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} \displaystyle \mathop {\rm Min}_{y,u} J(y,u) := ... ... [s,T]; \quad y(0)=y_0, \ \ C(y(t),u(t)) \leq 0, \; t\in [s,T]. \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathop {\rm Min}... ...\quad y(0)=y_0, \ \ C(y(t),u(t)) \leq 0, \; t\in [s,T]. \end{array}}\right.$$

(1)

Ici L est le coût distribué, f la dynamique, C la contrainte, y est l'état, u est la commande, s l'instant initial, et T l'instant final.

L'équation différentielle régit la dynamique du système, alors que les contraintes d'inégalités imposent à la trajectoire solution de rester dans un domaine donné. La résolution de (1) consiste donc en la détermination de u et x, de telle sorte que J soit minimum.

Posons H(y, u, p) : = L(y, u) + p ^. f (y, u). Dans le cas où la contrainte n'est pas active, le système d'optimalité s'écrit

$$\left\{ \begin{array}{lll} \dot{y}(t) = & H_p(y(t),u(t),p(t))... ...u(t),p(t)), & t\in [s,T]. \end{array}\right. \eqno{(P_{s,x})}$$

Ce système algébrico différentiel généralise en un certain sens les systèmes hamiltoniens issus de la mécanique. Si H_uu est inversible, le théorème des fonctions implicites permet la réécriture de la contrainte algébrique H_u = 0 comme u = $\Psi$(y, p), où $\Psi$ est telle que H_u(y,$\Psi$(y, p), p) = 0. Posant

$${\cal H}(y,p):= H(y,\Psi(y,p),p)=0,$$

on peut réécrire le système algébrico différentiel en (y, p, u)sous la forme hamiltonienne

 

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{llll} \dot{y}(t) & = & {\cal H}_p... ... - & {\cal H}_y(y(t),p(t)), & t\in [s,T]; \quad p(T)=0, \ \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{llll} \dot{y}(t) & = & {\cal H}_p(y(t),p(t)), & t\i... ...p}(t) &= - & {\cal H}_y(y(t),p(t)), & t\in [s,T]; \quad p(T)=0, \ \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{llll} \dot{y}(t) & = & {\cal H}_p(... ... - & {\cal H}_y(y(t),p(t)), & t\in [s,T]; \quad p(T)=0, \ \end{array}}\right.$$

(2)

La méthode de tir résout ce système différentiel en appliquant une variante de la méthode de Newton à l'équation F(p₀) = 0, où F est l'application qui à l'état adjoint initial p₀ associe, après intégration numérique du système

$$\dot{y}(t) = {\cal H}_p(y(t),p(t)), \quad \dot{p}(t) =- {\cal H}_y(y(t),p(t)), \quad t\in [s,T],$$

l'état adjoint final p(T). Les points délicats de la méthode concernent

• La précision numérique quand l'horizon final T est ``grand'',
• Le cas singulier H_uu = 0, qui se produit quand le critère et la dynamique sont fonction affines de la commande, et pour lequel le système algébrico différentiel est d'indice 3,
• Le traitement des contraintes, soit par pénalisation, soit par découpage de [s, T] en arcs sur lesquels les contraintes actives sont fixées.

On peut aussi résoudre le problème de commande optimale en s'appuyant sur un principe de programmation dynamique, ou (ce qui est très proche en pratique) en résolvant l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman (hjb)

$$v_t(x,t) + \bar{{\cal H}}(x,v_x(x,t)) = 0, \quad \forall \, x \in \mbox{${\rm I}\!{\rm R}$}^n, \quad v(x,T) =0, \eqno(HJB)$$

où

 

$$\bar{{\cal H}} \inf_{u}^{}$$ (3)

coïncide avec ${\cal H}$ si H_uu est inversible. On sait que la solution (en un sens généralisé, dit de viscosité) de cette équation n'est autre que la valeur du problème (P_{s, x}), et la commande optimale est obtenue en calculant en chaque point de la trajectoire l'argument du minimum dans (3), avec p = v_x. On obtient ainsi un algorithme calculant la solution globale, dont on sait évaluer la complexité. Les points délicats de la méthode, hormis l'inévitable limitation de dimension, concernent en particulier :

• Le calcul d'une solution précise au voisinage de la trajectoire nominale.
• Le traitement des contraintes sur l'état,
• La prise en compte de réduction de la dimension de l'état par perturbation singulière.

Enfin il est possible de résoudre numériquement le problème de commande optimale par la méthode dite directe, de discrétisation temporelle a priori, puis en appliquant au problème en temps discret ainsi obtenu un algorithme d'optimisation non linéaire. Ce procédé a l'avantage de permettre aisément la prise en compte de contraintes variées, et l'inconvénient d'un manque de précision d'une méthode qui reste locale.

Les références classiques sur la méthode de tir en commande optimale datent des années 70-80 [BH75,SB80]. Leurs avantages et inconvénients par rapport à l''approche directe (voir par exemple [BH92], [[10]]) est discutée en détail dans [Bet98]. ces méthodes ont été appliquées au calcul de commande en boucle fermée [Pes98].

Les problèmes avec arc singulier sont présentés dans [BH75]. On trouvera d'intéressantes études de cas particuliers dans [TK91].

Les méthodes de tir sont restées largement employées dans les dernières années, sauf en France où elles sont ignorées pour l'essentiel. Cependant elles n'ont pas fait l'objet d'investigations approfondies depuis environ une dizaine d'années.

Par ailleurs on trouvera une synthèse récente sur l'approche par l'équation de Hamilton-Jacobi dans [BCD97].

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