Projet : PROMATH

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Problèmes de contrôle optimal. Problèmes de temps optimal

Participante : Housnaa Zidani.

Résumé :

Il s'agit de l'étude de problèmes tels le contrôle frontière d'équations ou inéquations paraboliques non linéaires. Cette étude débouche sur de nouveaux résultats théoriques : régularité des solutions faibles des équations ou inéquations paraboliques (ou elliptiques), caractérisation pour le contrôle d'inéquations variationnelles de type parabolique, caractérisation des temps optimaux, régularité des équations paraboliques avec données mesure.

Dans des travaux (publiés ou soumis pour publications) en collaboration avec J.P. Raymond (Professeur à l'université Paul Sabatier, Toulouse), nous avions d'abord étudié la régularité des équations paraboliques dans le cas où l'opérateur A est elliptique du second ordre et est indépendant du temps. Nous avons aussi établi le principe de Pontryagin pour le problème $({\cal P})$.

Avec J.P. Raymond et E. Casas (Professeur à l'université de Santander, Espagne), nous avons étendu ces resultats au cas d'operateurs dependant du temps. Nous avons aussi étudier des problèmes de contrôle optimal avec contraintes couplées contrôle-état du type suivant :

$$\int_{\Sigma_T}^{}$$$$\Psi$$(s, t, y, v) $$\leq$$ 0,        $$\int_{\Sigma_T}^{}$$h(s, t, v) $$\leq$$ 0.

Signalons qu'ici l'ensemble des contrôles admissibles n'est pas "complet" dans le sens qu'une perturbation d'un contrôle admissible, sur un ensemble mesurable, par un autre contrôle admissible, n'est pas forcément admissible. Ceci rajoute une difficulté importante pour établir les conditions d'optimalité. Notre résultat a une conséquences importantes: l'obtention du principe de Pontryagin ponctuel pour les solutions locales. Cette question était totalement ouverte jusqu'ici.

Avec M. Bergounioux (Professeur à l'université d'Orleans) et J.P Raymond, nous avons aussi obtenu des conditions d'optimalité nouvelles et complètes pour des problèmes d'inéquations variationnelles avec contrôle frontière. Ce travaille prolonge celui effectué l'an dernier en collaboration avec M. Bergounioux.

Les problèmes de temps optimal auxquels on s'intéresse sont des problèmes de type $({\cal P})$ pour lesquels le temps final T est aussi une variable de contrôle. Cette classe de problèmes a été étudiée depuis les années 1960.

Les conditions d'optimalité des contrôles optimaux peuvent être obtenues en utilisant les techniques developpées pour les problèmes à temps final fixe.

La difficulté essentielle réside dans l'obtention de la condition d'optimalité du temps optimal. Cette condition est connue dans le cadre des problèmes de contrôle optimal des équations différentielles ordinaires avec contrainte finale sur l'état (contrainte cible). Dans le cadre EDP, cette condition d'optimalité (du temps optimal) n'est établie que dans quelques travaux et uniquement sous des hypothèses fortes sur l'état associé au contrôle optimal.

En collaboration avec J.P Raymond, nous établissons la condition d'optimalité du temps optimal, et pour cela, nous n'utilisons que les résultats de régularité (de l'état) établies. Les résultats que nous obtenons semblent être nouveaux et même plus généraux que ceux déjà connus dans le cadre EDO.

Dans un travail récent en collaboration avec J.P. Raymond, on considère la discrétisation d'un problème de contrôle (et temps) optimal d'équation parabolique (problème de type $({\cal P})$) avec contrôle frontière dans une condition au bord linéaire et avec contraintes ponctuelles sur l'état.

L'étude de l'approximation d'un tel problème nécessite la connaissance d'estimations à priori sur l'erreur commise sur la discrétisation de l'équation d'état. Notons que plusieurs auteurs travaux ont étudié la discrétisation d'équations paraboliques par rapport à la variable espace et à la variable temps. Mais les erreurs de discrétisation ne sont souvent établies que sous des hypothèses de régularité de la dérivée temporelle de la solution de l'équation parabolique, et cette régularité n'est pas nécessairement vérifiée dans notre cas.

En utilisant des techniques introduites par Nocheto, nous étudions un schéma de discrétisation totale (à la fois par rapport à la variable temps et par rapport à la variable espace) et nous établissons (sans hypothèse supplémentaire sur la régularité de la solution continue) une estimation d'erreur de discrétisation en norme de L²(Q_T). Ces estimations nous permettent de montrer l'existence de solution pour des problèmes discrétisés et d'étudier la convergence de ces solutions vers les solutions du problème continu.

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