Projet : PROMATH

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Problèmes d'optimisation provenant de la chimie

Participante : H. Zidani.

En collaboration avec O. Bokanowski (maitre de conférence à Paris 7 & 6) et M. Pierre (Professeur à l' ENS Cachan, antenne de Bretagne), nous étudions un problème d'optimisation issu de la chimie quantique. Il s'agit de la minimisation de l'energie cinétique d'un gaz contraint à garder une densité moyenne donnée :

F($$\rho$$) = inf$$\left\{\vphantom{\sum_{i=1}^N \int\limits_{R^3}\vert\nabla\psi_i\... ...1,2}(R^3),\space \int\limits_{R^3}\psi_i\overline{\psi_j} =\delta_{ij},}\right.$$$$\sum_{i=1}^{N}$$$$\int\limits_{R^3}^{}$$|$$\nabla$$$$\psi_{i}^{}$$|²; $$\psi_{i}^{}$$ $$\in$$ W^{1, 2}(R³), $$\int\limits_{R^3}^{}$$$$\psi_{i}^{}$$$$\overline{\psi_j}$$ = $$\delta_{ij}^{}$$,$$\left.\vphantom{\sum_{i=1}^N \int\limits_{R^3}\vert\nabla\psi_i\v... ...1,2}(R^3),\space \int\limits_{R^3}\psi_i\overline{\psi_j} =\delta_{ij},}\right.$$  

$$\hspace*{5cm}\left\{ \sum_{i=1}^N \vert\psi_i(x)\vert^2=\rho(x) \mbox{\footnotesize {p.s.}}\ x\in R^3\right\}.$$

Ce problème est relié aux fondements de la théorie de la fonctionnelle de la densité ( TFD), develeppée par les chimistes afin de modeliser et de simplifier les calculs en chimie quantique moléculaire.

Nous étudions la régularité du multiplicateur associé à la contrainte ponctuelle : `` $\sum_{i=1}^{N}$|$\psi_{i}^{}$(x)|² = $\rho$(x)''. Ce multiplicateur définit un potentiel qui interesse beaucoup les chimistes car, sous des conditions de stabilité, il doit correspondre exactement au potentiel de Kohn-Scham de la TFD qui n'est pas connu explicitement. Nous étudions, actuellement aussi, la stabilité du problème ainsi que diverses méthodes de pénalisation, afin de vérifier la cohérence de l'approche des chimistes et tenter de proposer, le cas écheant, une méthode plus stable.

Le travail encours est une continuation d'un travail accepté pour publication, en collaboration avec O. Bokanowski et I. Schindler (maître de conférence à l'université Toulouse I).

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