Projet : Robotvis - Approches variationnelles et à base d'invariants

Participants : Quentin Delamarre, Rachid Deriche, Olivier Faugeras, Cyrille Gauclin, Renaud Keriven, Pierre Kornprobst, Laurence Lucido, Luc Robert, Imad Zoghlami.

Mots clés : stéréoscopie, équations aux dérivées partielles, méthodes de niveaux, théorie des invariants, espaces étales, théorie des noeuds, morphologie mathématique .

EDP et Restauration d'images

Nous avons poursuivi les travaux commencés l'année dernière sur la formalisation du problème de la restauration d'images bruitées et/ou floues par une approche variationnelle. Après nous être intéressés dans un premier temps à l'aspect débruitage, proposant un formalisme commun permettant de comparer théoriquement et numériquement quelques unes des multiples méthodes proposées à ce jour dans la littérature [KDA97], nous avons considéré dans un second temps le problème des images floues et bruitées, et proposé un nouveau modèle d'EDP qui généralise les approches citées, et qui permet d'obtenir des résultats de rehaussement de contraste et de débruitage bien meilleurs :

$\displaystyle {\frac{\displaystyle \partial I}{\displaystyle \partial t}}$ = $\displaystyle \underbrace{\alpha_f (I-I_N)}_{\mbox{\small Couplage}}^{}\,$ + $\displaystyle \underbrace{\alpha_r(h_\tau(\vert G_\sigma \star \nabla I\vert)I_{\eta\eta}+I_{\xi\xi})}_{\mbox{\small Débruitage}}^{}\,$ - $\displaystyle \underbrace{\alpha_e (1-h_\tau(\vert G_\sigma \star \nabla I\ve... ...gma}} \star I_{\eta\eta})\vert\nabla I\vert}_{\mbox{\small Réhaussement}}^{}\,$

Plusieurs résultats qualitatifs et quantitatifs ont été produits, principalement sur les images fournies par nos partenaires du projet européen Improofs, cadre dans lequel s'inscrit ce travail. Un certain nombre d'expériences ont été aussi menées afin de valider l'approche sur des résultats de films d'archives provenant de la société DUST.S.A. Pour ce qui concerne la discrétisation du schéma, nous avons utilisé un schéma explicite et nous référons le lecteur intéressé à [[17]] pour plus de détails sur la discrétisation de chacun des termes. L'ensemble de ces travaux a été présenté dans [[32]] et fait l'objet d'un article soumis à la revue Traitement du Signal.

Du point de vue théorique, nous avons étudié ce modèle dans le cadre des solutions de viscosité. Nous avons démontré l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité ainsi qu'un résultat de type stabilité :

$\displaystyle \inf^{}$ I_N - $\displaystyle {\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t+1}}$ $\displaystyle \left\vert\vphantom{\inf_{}I_0-\inf_{}I_N}\right.$ $\displaystyle \inf^{}$ I₀ - $\displaystyle \inf^{}$ I_N $\displaystyle \left.\vphantom{\inf_{}I_0-\inf_{}I_N}\right\vert$ $\displaystyle \leq$ I(t, x) $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sup^{}$ I_N + $\displaystyle {\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t+1}}$ $\displaystyle \left\vert\vphantom{\sup_{}I_0-\sup_{}I_N}\right.$ $\displaystyle \sup^{}$ I₀ - $\displaystyle \sup^{}$ I_N $\displaystyle \left.\vphantom{\sup_{}I_0-\sup_{}I_N}\right\vert$

Une justification théorique du problème du flot optique

Étant donné une séquence I(x, y, t), le problème est de trouver le flot optique V = (u, v)^T, comme la solution du problème de minimisation suivant :

$\displaystyle \inf_{V\in BV(\Omega)}^{}$ $\displaystyle \underbrace{\int_\Omega \vert V\cdot\nabla I+I_t\vert dx}_{\mbox{\small Contrainte du flot optique}}^{}\,$ + $\displaystyle \underbrace{\int_\Omega \phi(\vert\nabla u\vert) +\phi(\vert\nabla v\vert)dx}_{\mbox{\small Régularisation}}^{}\,$ + $\displaystyle \underbrace{\int_\Omega c(x) \vert V\vert^2dx}_{\mbox{\small Régions non texturées}}^{}\,$

Une étude mathématique de ce problème a été entreprise avec Gilles Aubert, professeur à l'Université de Nice. Deux cas ont été considérés, suivant la régularité de la donnée I :

**Figure 3:** À gauche : représentation du flot optique en superposition sur une image de la séquence. À droite : passage par zéro de la première composante du champ de vitesse. On peut remarquer une petite partie à l'avant du bateau correspondant au bout d'une antenne du bateau qui masque le fond.
$\fbox{\includegraphics[height=7cm,angle=-90]{Fig/rapact_98.fo.dat.res.eps2}}$ $\fbox{\includegraphics[height=7cm,angle=-90]{Fig/rapact_98.fo.zero.eps2}}$

Restauration de séquence d'images

La restauration de séquences d'images est un problème dont l'importance n'échappe à personne du fait de ses potentialités applicatives multiples. Il est étroitement lié à la segmentation au sens du mouvement. Il nécessite l'extraction des objets en mouvement de manière à restaurer séparément le fond de l'image et chaque objet en mouvement le long de ses trajectoires. C'est un problème très récent par rapport à celui de la restauration d'images statiques, ce qui explique le peu de littérature sur le sujet. La plupart des travaux effectués à ce jour sont basés sur l'utilisation de filtres temporels avec compensation de mouvement, de filtres de Wiener 2-D ou 3-D pour l'élimination du bruit, de filtres médians 2-D ou 3-D ou d'opérateurs morphologiques plus adaptés pour supprimer le bruit impulsionnel. La méthodologie par EDP, très efficace et largement développée dans le cadre de la restauration d'images, nous paraît être un moyen intéressant d'aborder les séquences. Habituellement la segmentation au sens du mouvement et la restauration sont traitées séparément. Notre objectif est de traiter de manière couplée les deux problèmes au travers d'une approche par EDP. Plus précisément, étant donné N_h, T images bruitées avec un fond fixe, nous cherchons :

(ii) C_h, T images associées à N_h qui indiqueront les régions en mouvement. Typiquement, on aimerait que C_h(x₁, x₂) = 0si le point (x₁, x₂) de l'image h appartient à un objet, et 1 sinon.

Le problème a alors été modélisé comme un problème d'optimisation posé sur l'espace BV^{T + 1}. Il s'agit de résoudre le problème [[33]]:

$\displaystyle \inf_{B,C_1,\ldots,C_{T}}^{}$	$\displaystyle \Big($ $\displaystyle \underbrace{{\displaystyle \sum_{h=1}^T}\int_\Omega C_{h}^2(B-N_{h})^2dx }_{\mbox{\tt 1}}^{}\,$ + $\displaystyle \alpha_{c}^{}$ $\displaystyle \underbrace{{\displaystyle \sum_{h=1}^T}\int_\Omega (C_{h}-1)^2 dx}_{\mbox{\tt 2}}^{}\,$
	+ $\displaystyle \underbrace{\alpha_{b}^{r} \int_\Omega \phi_1(\Vert\nabla B\Vert)... ... \sum_{h=1}^T}\int_\Omega \phi_2(\Vert\nabla C_{h}\Vert)dx}_{\mbox{\tt 3}}^{}\,$ $\displaystyle \Big)$ .	(1)

L'idée principale vient des deux premiers termes qui réalisent le couplage entre B et les fonctions C_h. Le terme 2 signifie que nous voulons que les fonctions C_h(x₁, x₂) soient proches de 1. Dans notre interprétation, cela sous-entend que l'on désire avantager le fond de l'image. Cette préférence est physiquement correcte puisque l'on considère que le fond est visible le plus souvent. Cependant, si la donnée N_h(x₁, x₂) est trop éloignée du fond B(x₁, x₂) au temps h, en d'autre termes, si (B(x₁, x₂) - N_h(x₁, x₂))² est élevée, il faudra, pour compenser, que C_h(x₁, x₂) soit faible. Par conséquent, la fonction C_h(x₁, x₂)peut être interprétée comme une fonction de détection des objets en mouvement comme nous l'annoncions au début de ce paragraphe. De plus, pour l'estimation de B(x₁, x₂), nous ne tiendrons pas compte de N_h(x₁, x₂) si C_h(x₁, x₂) est faible (terme 1). La fonction B(x₁, x₂) est donc bien le fond de l'image.

La justification théorique de ce modèle fait l'objet d'un article accepté pour publication dans le journal Mathematical Imaging and Vision. Nous avons proposé un algorithme de minimisation (en utilisant des arguments de type $\Gamma$ -convergence et en appliquant le théorème de Geman-Reynolds) dont la convergence à été démontrée (voir [[17]] pour plus de détails). La figure 4 présente un exemple de résultats obtenus.

Figure 4: Résultats obtenu sur la séquence décrite sur l'image (a). (b) représente l'image C_h associée. L'image (c) correspond à la moyenne temporelle de la séquence (des traces liées aux mouvements et au bruit sont présentes) que l'on pourra comparer avec l'image du fond B présentée en (d).

$\includegraphics[width=7cm]{Fig/rapact_98.rs.data.ps}$	$\includegraphics[width=7cm]{Fig/rapact_98.rs.C.ps}$
(a)	(b)
$\includegraphics[width=7cm]{Fig/rapact_98.rs.moy.ps}$	$\includegraphics[width=7cm]{Fig/rapact_98.rs.B.ps}$
(c)	(d)

EDP et Restauration de films d'archives

Le problème de la restauration numérique de films d'archives est au coeur d'un marché grandissant lié aux nouvelles technologies de l'information (multimédia, vidéo à la demande...). Ces films ont malheureusement subi l'outrage du temps. Les dégradations peuvent être causées par l'homme, ou par un appareil de projection défectueux (support rayé), par de mauvaises techniques de conservation (support plissé), par un trop grand nombre de projections (émulsion qui se désagrège), etc.

Elles se présentent alors sous la forme d'altérations importantes concentrées en certains points.
Dans la littérature, les recherches se sont principalement penchées sur ce dernier type de dégradations. Ce sont les plus gênantes visuellement, mais aussi les moins fréquentes. Les dégradations peuvent aussi être provoquées naturellement. Dans le cas de films argentiques, le bruit présent est engendré par le processus de dégradation chimique de l'émulsion photosensible. On appelle ce bruit, le grain du film. C'est un bruit dépendant du signal et qui peut être approximé par :

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à la restauration de films bruités naturellement. Nous commencé dans un premier temps par tester les performances des méthodes géométriques à base d'EDP que mous avions précédemment développées, sur ces nouvelles données. Sans surprise, nous avons rapidement conclu à la nécessité de développer des outils plus adaptés au type de bruit présent dans les images de films d'archive. Dans un second temps, nous avons alors proposé une méthode originale permettant d'éliminer le bruit multiplicatif. La méthode proposée repose sur une réécriture de la fonction de détection des contours dans l'EDP de diffusion anisotrope de type Perona-Malik. L'extension de cette méthode au cas des images couleurs a ensuite été considéré dans un cadre géométrique. Soit m le nombre de composantes et u une image, u : $\Re^{2}_{}$ $\to$ $\Re^{m}_{}$ . Alors on peut voir cette image, comme une surface d'un espace à m + 2 dimensions. Cette surface admet pour première forme fondamentale

La première forme fondamentale permet de mesurer les changements de contrastes dans l'image. Ainsi, pour un vecteur unitaire v, d²u(v) nous donne une mesure du changement suivant la direction donnée par v. Les vecteurs propres de la matrice Gdonnent les directions de changement, respectivement, maximal et minimal et les valeurs propres $\mu_{1}^{}$ , $\mu_{2}^{}$ donnent le contraste suivant ces directions. On remarquera que pour m = 1 on a $\mu_{1}^{}$ = | $\nabla$ u|² et $\mu_{2}^{}$ = 0. Le problème du choix de la norme et de l'espace couleur a été alors considéré et une comparaison expérimentale avec d'autres approches, telle que celle proposée par Sapiro-Ringach par exemple, été menée afin de valider l'approche.

Ces travaux [[39]] font suite aux contacts établis avec la société de restauration de films d'archive DUST.S.A, qui avait des besoins particuliers en matière d'élimination du grain du film et de traitement d'images couleurs.

Figure 5: De gauche à droite, l'image originale, l'image bruitée par un bruit multiplicatif de loi N(1, 1), l'image restaurée en considérant un bruit additif et l'image restaurée par la prise en compte d'un modèle de bruit multiplicatif.

$\includegraphics[width=3.2cm]{Fig/1-05.eps}$

$\includegraphics[width=3.2cm]{Fig/1-06.eps}$

$\includegraphics[width=3.2cm]{Fig/1-07.eps}$

$\includegraphics[width=3.2cm]{Fig/1-08.eps}$

EDP et ensembles de niveau pour la détection et le suivi d'objets en mouvements

Nous avons poursuivi l'étude commencée l'année dernière sur la formalisation par une méthode variationnelle du problème de la détection et du suivi d'objets en mouvement dans une séquence monoculaire d'images.

L'idée de reformuler le problème de la détection et du suivi comme un problème de propagation de front est toujours à la base de la méthode. Toutefois, dans le but de rendre l'approche encore plus robuste, nous avons modifié la fonctionnelle à minimiser afin de prendre en compte les informations de mouvement associées aux régions mobiles et aux courbes qui les englobent. Une approche statistique permet en premier d'associer à l'image des différences temporelles [D(.)] une distribution de probabilité à base de mixtures de gaussienne [p(.)].

On propose alors de minimiser une fonctionnelle qui comprend un premier terme associé au degré d'appartenance du pixel considéré à une zone frontière, ainsi qu'un second terme qui caractérise la qualité des régions entourées [R_M] et non-entourées [R_S] par les courbes en terme de probabilité d'appartenance à une zone mobile et à une zone statique.

E( $\displaystyle \partial$ R)

= $\displaystyle \epsilon$ $\displaystyle \int_{0}^{1}$ g(h( $\displaystyle \partial$ R(p)))| $\displaystyle \partial$ $\displaystyle \dot{R}$ (p)| dp

+ (1 - $\displaystyle \epsilon$ ) $\displaystyle \left\{\vphantom{ \iint\limits_{R_S}log\left[p_{Static}(D(x,y))\r... ...pace + \space \iint\limits_{R_M}log\left[p_{Mobile}(D(x,y))\right]dxdy }\right.$ $\displaystyle \iint\limits_{R_S}^{}$ log $\displaystyle \left[\vphantom{p_{Static}(D(x,y))}\right.$ p_Static(D(x, y)) $\displaystyle \left.\vphantom{p_{Static}(D(x,y))}\right]$ dxdy + $\displaystyle \iint\limits_{R_M}^{}$ log $\displaystyle \left[\vphantom{p_{Mobile}(D(x,y))}\right.$ p_Mobile(D(x, y)) $\displaystyle \left.\vphantom{p_{Mobile}(D(x,y))}\right]$ dxdy $\displaystyle \left.\vphantom{ \iint\limits_{R_S}log\left[p_{Static}(D(x,y))\ri... ...ace + \space \iint\limits_{R_M}log\left[p_{Mobile}(D(x,y))\right]dxdy }\right\}$

L'équation d'Euler-Lagrange, déduite de la minimisation de cette nouvelle fonctionnelle, est alors utilisée afin de déformer les contours initiaux, considérés comme des régions actives géodésiques qui vont se déplacer vers les frontières des objets en mouvement. L'équation d'évolution des courbes est donnée par :

$\displaystyle {\frac{d}{dt}}$ $\displaystyle \partial$ R = $\displaystyle \left(\vphantom{ \epsilon \left[ g(h(\partial R))\mathcal{K}(... ... \frac{p_{Mobile}(D(\partial R))} {p_{Static}(D(\partial R))} \right] }\right.$ $\displaystyle \epsilon$ $\displaystyle \left[\vphantom{ g(h(\partial R))\mathcal{K}(\partial R) +\nabla g(h(\partial R)) \cdot \vec{N}(\partial R) }\right.$ g(h( $\displaystyle \partial$ R)) $\displaystyle \mathcal {K}$ ( $\displaystyle \partial$ R) + $\displaystyle \nabla$ g(h( $\displaystyle \partial$ R)) ^. $\displaystyle \vec{N}\,$ ( $\displaystyle \partial$ R) $\displaystyle \left.\vphantom{ g(h(\partial R))\mathcal{K}(\partial R) +\nabla g(h(\partial R)) \cdot \vec{N}(\partial R) }\right]$ + (1 - $\displaystyle \epsilon$ )log $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{p_{Mobile}(D(\partial R))} {p_{Static}(D(\partial R))} }\right.$ $\displaystyle {\frac{p_{Mobile}(D(\partial R))}{p_{Static}(D(\partial R))}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{p_{Mobile}(D(\partial R))} {p_{Static}(D(\partial R))} }\right]$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \epsilon \left[ g(h(\partial R))\mathcal{K}(... ... \frac{p_{Mobile}(D(\partial R))} {p_{Static}(D(\partial R))} \right] }\right)$ $\displaystyle \vec{{N}}\,$ ( $\displaystyle \partial$ R)

Figure 6: EDP et ensembles de niveau pour la détection et le suivi d'objets en mouvements

$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/Track.1.ps}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/Track.2.ps}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/Track.3.ps}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/Track.4.ps}$
$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/Track.5.ps}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/Track.6.ps}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/Track.7.ps}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/Track.8.ps}$

Cette équation fait évoluer chaque point de la courbe le long de sa normale $\vec{N}\,$ au point considéré avec une vitesse qui comprend 2 termes. Un premier terme ne prend en compte que l'information le long des courbes. On y trouve le terme de courbure $\mathcal {K}$ qui fait avancer la courbe de manière intrinsèque, ainsi que la fonction décroissante g(.) qui prend en compte l'information d'appartenance à une zone frontière (via la fonction h(.)). Le second terme est spécifique à la prise en compte des informations au sein des régions. Son signe dépend des densités de probabilités d'appartenance du point courant à une zone mobile ou statique. La courbe peut ainsi évoluer aussi bien vers l'intérieur que vers l'extérieur de la région englobée. Cette propriété remarquable permet à cette approche de traiter sans problème les différents cas d'initialisation qui peuvent se poser. La résolution de cette EDP se fait par la méthode des courbes de niveau [Set96b]. Ceci permet de mettre en oeuvre de manière efficace le processus d'évolution des contours tout en gérant automatiquement d'éventuels problèmes de changement de topologie de type fusion et/ou scission d'objets durant la déformation. Divers résultats expérimentaux, obtenus à partir de séquences d'images réelles, illustrent les très bonnes performances obtenues par cette nouvelle méthode dont les différentes parties sont développées dans [[36],[37],[38]].

EDP et ensembles de niveau pour la segmentation de textures

Il est bien connu que le problème de la segmentation d'images texturées est d'importance pour plusieurs applications. C'est un problème très difficile auquel nous nous sommes trouvés confrontés en développant nos travaux sur l'évolution des courbes et régions géodésiques à des fins de suivi et de détection d'objets en mouvement. Comment faire évoluer les courbes dans des images où l'information est présente sous forme de texture? Nous avons donc commencé à développer une approche à base de contours actifs géodésiques pour la segmentation supervisée d'images texturées.

La première partie de cette méthode consiste en une phase d'apprentissage préalable qui permet d'associer à chaque modèle donné de texture un vecteur d'attributs composé d'un tuple de densités de probabilités. Pour cela, on commence par appliquer au modèle de texture donné un banc de filtres de Gabor, et on modélise l'histogramme de chaque sous-image obtenue par une mixture de densités de probabilité gaussienne $\left[\vphantom{\mathbf {p}_i(\mathbf {x}) = ( p_{i0}(x_0),...,p_{iF}(x_F)) }\right.$ p_i(x) = (p_i0(x₀),..., p_iF(x_F)) $\left.\vphantom{\mathbf {p}_i(\mathbf {x}) = ( p_{i0}(x_0),...,p_{iF}(x_F)) }\right]$ .

Une approche variationnelle permettant de reformuler le problème de la segmentation supervisée de texture comme un problème de propagation de front est alors développée. Le problème est alors formalisé comme la minimisation d'une fonctionnelle E( $\partial$ R) intégrant les informations sur les N textures (t_i, i = 1,..N) des régions englobées ainsi que sur leur frontière ( $\partial$ R_i, i = 1,.., N) avec la texture du fond t₀.

E( $\displaystyle \partial$ R) = $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{N}$ $\displaystyle \int_{0}^{1}$ g(h( $\displaystyle \partial$ R_i(p_i)))| $\displaystyle \partial$ $\displaystyle \dot{R}_{i{^}}^{}$ (p_i)| dp_i + (1 - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \sum_{i=0}^{N}$ $\displaystyle \iint\limits_{\mathbf {R}_i}^{}$ $\displaystyle \sum_{j=1}^{F}$ w_jlog $\displaystyle \left[\vphantom{p_{ij}(\mathbf {I}_j(x,y))}\right.$ p_ij(I_j(x, y)) $\displaystyle \left.\vphantom{p_{ij}(\mathbf {I}_j(x,y))}\right]$ dxdy

L'équation d'Euler-Lagrange, déduite de la minimisation de cette énergie, est alors utilisée afin de déformer une courbe initiale, considérée comme un contour actif géodésique qui va converger vers les différentes frontières des régions texturées présentes dans l'image, d'où le nom de Régions Actives Géodésiques associé à cette approche.

$\displaystyle {\frac{d\vec{u}}{dt}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ \alpha \left[ h(\vec{u})\mathcal {K}(\vec{u})... ...(\mathbf {I}_j(\vec{u}))}{p_{t_0j}(\mathbf {I}_j(\vec{u}))} \right] }\right.$ $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left[\vphantom{ h(\vec{u})\mathcal {K}(\vec{u}) +\nabla h(\vec{u})\cdot \vec{\mathcal {N}}(\vec{u}) ) }\right.$ h( $\displaystyle \vec{u}\,$ ) $\displaystyle \mathcal {K}$ ( $\displaystyle \vec{u}\,$ ) + $\displaystyle \nabla$ h( $\displaystyle \vec{u}\,$ ) ^. $\displaystyle \vec{\mathcal {N}}\,$ ( $\displaystyle \vec{u}\,$ )) $\displaystyle \left.\vphantom{ h(\vec{u})\mathcal {K}(\vec{u}) +\nabla h(\vec{u})\cdot \vec{\mathcal {N}}(\vec{u}) ) }\right]$ + (1 - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \left[\vphantom{ \sum_{j=1}^{F} w_j \mathbf {log}\frac{p_{t_rj}(\mathbf {I}_j(\vec{u}))}{p_{t_0j}(\mathbf {I}_j(\vec{u}))} }\right.$ $\displaystyle \sum_{j=1}^{F}$ w_jlog $\displaystyle {\frac{p_{t_rj}(\mathbf {I}_j(\vec{u}))}{p_{t_0j}(\mathbf {I}_j(\vec{u}))}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \sum_{j=1}^{F} w_j \mathbf {log}\frac{p_{t_rj}(\mathbf {I}_j(\vec{u}))}{p_{t_0j}(\mathbf {I}_j(\vec{u}))} }\right]$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \alpha \left[ h(\vec{u})\mathcal {K}(\vec{u})... ...(\mathbf {I}_j(\vec{u}))}{p_{t_0j}(\mathbf {I}_j(\vec{u}))} \right] }\right)$ $\displaystyle \vec{\mathcal {N}}\,$ ( $\displaystyle \vec{u}\,$ ))

Cette équation fait évoluer chaque point de la courbe le long de sa normale $\vec{N}\,$ au point considéré avec une vitesse qui dépend d'informations intrinsèques à la courbe (terme de courbure $\mathcal {K}$ ), d'information issue de la zone frontière ( g(h(.)) ), ainsi que d'une information spécifique aux textures des régions englobées. Il est à noter que le signe de cette dernière information dépend du rapport de la probabilités d'appartenance du point considéré à la texture la plus probable par rapport à celle de la texture du fond. Cette propriété remarquable permet à cette approche de traiter sans problème les différents cas d'initialisation qui peuvent se poser. La courbe peut ainsi évoluer aussi bien vers l'intérieur que vers l'extérieur de la région englobée (voir figure 7).

La résolution de l'EDP par la méthode des courbes de niveau d'Osher et Sethian permet ensuite de mettre en oeuvre de manière efficace le processus d'évolution des contours tout en gérant automatiquement d'éventuels problèmes de changement de topologie durant la phase d'évolution. Une approche multi-résolution et les versions rapides, connues sous le nom de NBA et Hermes sont aussi utilisées pour mettre en oeuvre la méthode. Divers résultats expérimentaux sur des données synthétiques et réelles illustrent les remarquables capacités de cette nouvelle méthode [[40]].

Figure 7: EDP et ensembles de niveau pour la segmentation de textures

$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/out.0}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/out.2}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/out.5}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/out.8}$
$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/out.11}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/out.14}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/out.17}$	$\includegraphics[width=1.25in,height=1.25in]{Fig/out.19}$

Stéréoscopie multi-caméras et EDP

Ce travail est l'application et la suite de l'étude menée par Faugeras et Keriven [[5]]. Il s'agit de retrouver la structure tridimensionnelle d'une scène en partant de photographies prises simultanément de points de vue différents. La scène est modélisée par une iso-surface d'une fonction réelle sur R³ et sa déformation est régie par une équation aux dérivées partielles (EDP).

L'an passé, nous avons étudié et mis en oeuvre une version simplifiée de cette théorie, évitant les termes d'ordre élevé dans notre EDP. Cette année, un terme d'ordre 2 a pu être ajouté mais n'a pu donner de résultats satisfaisants que sur des données synthétiques (cf. figure 8). Le projet s'est doté d'un système d'acquisition de séquences d'images trinoculaires synchronisées ce qui nous a permis de tester et de rendre plus robustes nos algorithmes sur des images réelles (cf. figure 9).
Nous avons aussi développé une librairie de classes C++ permettant de faire évoluer des surfaces en différentes dimensions (2, 3, ou 4). La librairie repose sur une structure de données creuse grâce à laquelle les méthodes d'ensembles de niveaux s'écrivent naturellement.

**Figure 8:** Reconstruction d'un plan texturé à l'aide de deux images synthétiques. La surface initiale est une sphère. La vitesse de la surface est uniquement le terme d'ordre élevé négligé l'an passé (dérivée seconde de la fonction de corrélation par rapport au vecteur unitaire normal à la surface).
$\includegraphics[width=3cm,height=3cm]{Fig/phiNN.ps}$