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Dans beaucoup de domaines appliqués, le traitement d'un problème passe souvent par des étapes de modélisation, d'analyse du modèle, et de résolution.
Ainsi la mise en équation produit un problème mathématique, dont la résolution amène à concevoir à la fois un algorithme, puis son implantation et son application.
Notre démarche s'attache donc à dégager, dans des domaines où la géométrie, l'algèbre et l'algorithmique jouent un rôle important, des méthodes reposant sur le calcul formel pour le traitement de ces différentes étapes.
Notre démarche est ainsi motivée à la fois par des considérations théoriques en géométrie algébrique effective, mais aussi par leurs applications en théorie des mécanismes, en vision artificielle, en géométrie algorithmique...
Analyser les propriétés des objets mathématiques qui apparaissent dans ces problèmes à partir d'exemples suffisamment génériques (par leurs occurrences pratiques et les problèmes qu'ils illustrent), rechercher des méthodes puissantes pour les exploiter, développer à la fois les méthodes effectives en mathématiques et les logiciels qui les rendent utilisables sont donc les points forts du projet.
Dans l'étape de modélisation, notre approche s'appuie sur la théorie des invariants et le calcul formel en géométrie. Par exemple le formalisme de Grassmann-Cayley fournit des outils pour analyser à la fois les correspondances dans les images ainsi que les lieux critiques des mécanismes à plusieurs corps.
Dans la phase d'analyse, la géométrie algébrique effective fournit des méthodes et outils, permettant de mieux comprendre la géométrie des solutions, leur dimension, leur degré, ... La structure des équations et plus particulièrement des monômes dans ces équations, soulève des problèmes liés à la géométrie des polytopes convexes (une autre manière de voir la programmation linéaire, entière ou non), et conduit à des calculs sur les cônes et sous-réseaux de Zn.
La résolution explicite des problèmes fait quant-à-elle, appel à une analyse des structures des objets manipulés (matrice de Toeplitz, Hankel, ...) et soulève des questions de complexité théorique, mais aussi de stabilité numérique, devant prendre en compte l'incertitude sur les données. Dans ces problèmes à la frontière entre le calcul numérique et symbolique, les polynômes et les matrices jouent un rôle central.