Présentation et objectifs généraux

Mots clés : géométrie, théorie des invariants, géométrie algébrique effective, algorithmique des polynômes, lien symbolique-numérique, robustesse, matrices structurées, implantation, applications, robotique, théorie des mécanismes, vision artificielle, chimie moléculaire, santé, télécommunications .

La géométrie algébrique effective joue un rôle important dans un éventail très large de domaines d'applications, allant de la chimie à l'infographie en passant par la théorie des mécanismes, le traitement du signal et la vision par ordinateur. En pratique, les phases où interviennent cette géométrie sont souvent des points bloquants.

En effet, malgré les développements importants de cette discipline lors des dix dernières années, force est de constater que son impact réel est faible, ceci pour quatre raisons :

1.: une absence de travail amont sur la modélisation : les objets algébriques que nous considérons sont issus d'une phase de modélisation. Or les différents types de modélisation ne conduisent pas à des objets algébriques de même complexité du point de vue de la résolution ultérieure.
2.: un défaut d'adaptation : en pratique, les systèmes polynomiaux que nous rencontrons appartiennent à certaines classes de problèmes (problèmes de distances, de déplacements, ...). À l'image de l'algèbre linéaire les spécificités de ces systèmes polynomiaux, doivent être prises en compte.
3.: un défaut d'ergonomie : les difficultés liées aux choix des méthodes de résolution, à la façon de les utiliser, à leur adéquation avec le problème à résoudre, sont parfois rédhibitoires. Un travail de transfert de connaissances, d'intégration des techniques et outils logiciels dans les phases de modélisation et de résolution est donc nécessaire.
4.: un défaut d'implantation : la communauté mathématicienne a certes produit un effort important dans le domaine théorique mais il se traduit de manière très inégale en termes d'implantations logicielles. Par ailleurs, il y a souvent inadéquation totale entre les capacités des utilisateurs potentiels et le niveau d'expertise nécessaire à l'utilisation de ces outils.

L'objectif du projet SAGA est de combler ces lacunes en agissant à quatre niveaux :

1.: en recherchant de nouveaux algorithmes en Algèbre et en Géométrie, en développant de nouvelles méthodes formelles et/ou numériques, en relation avec les applications.
2.: en dégageant des classes de problèmes de généricité relativement larges et en mettant en place des algorithmes dédiés à ces classes de problèmes.
3.: en fournissant à l'utilisateur des outils allant de la mise en équations en passant par des outils d'analyse de la géométrie des solutions, jusqu'aux implantations d'algorithmes de résolution, dans des bibliothèques dédiées, modulaires, d'accès et d'usage faciles. L'efficacité des codes produits et leur validation sur de gros problèmes est une préoccupation majeure.
4.: en utilisant ces bibliothèques dans le cadre d'applications particulières soit en connexion directe avec les utilisateurs finaux soit dans des domaines prometteurs.

Ce transfert de connaissances de la géométrie algébrique effective vers le calcul scientifique et les applications est donc un pari important, qui sous-tend les objectifs de notre projet.

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