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Mots clés : géométrie, théorie des invariants, géométrie algébrique effective, algorithmique des polynômes, lien symbolique-numérique, robustesse, matrices structurées .
Participants : Bernard Mourrain [correspondant],
Jean-Pierre Merlet.
Les problèmes que nous avons mentionnés ci-dessus font appel à la fois à des méthodes manipulant des polynômes, des idéaux, des anneaux quotients, ... mais aussi à des calculs numériques sur des vecteurs, des matrices, dans des processus itératifs. Ces domaines étaient jusqu'à présent bien séparés, d'un côté, des logiciels manipulant des formules, souvent peu efficaces pour l'algèbre linéaire numérique, de l'autre, des logiciels stables numériquement et efficaces en algèbre linéaire mais peu adaptés au traitement des polynômes, par exemple. L'objectif que nous poursuivons dans la conception de la bibliothèque ALP (Algèbre Linéaire pour les Polynômes) écrite en C++ est donc de réunir ces deux domaines, en vue d'applications en robotique, vision, ...
Cette bibliothèque contient une ensemble de classes et fonctions C++ permettant de transformer la résolution d'un système non-linéaire en un problème matriciel. Nous y fournissons différentes constructions de matrices de résultants (Macaulay, Bézoutien, résultant creux incluant les implantations ci-dessus), des procédures permettant de transformer, réduire les faisceaux de matrices correspondants et de retrouver les solutions des systèmes polynomiaux par des calculs de vecteurs propres. Nous y avons également implanté des méthodes itératives contrôlés, permettant de calculer les racines d'une système d'équations minimisant (ou maximisant) un certain critère. Ces constructions de matrices et leurs transformations sont paramétrées par l'arithmétique de base, les représentations internes et l'implantation. Ce travail se fait en relation avec le projet européen FRISCO (LTR 21.024).