Étude et analyse de structures discrètes

Les chercheurs du projet s'intéressent aux propriétés générales structurelles des codes, dans un espace ambiant donné. Il s'agit d'un sujet théorique en amont qui a pour but essentiellement de classifier un ensemble d'objets prédéfinis. L'ensemble de ces travaux constitue une base théorique fondamentale pour les actions finalisées décrites plus loin. Il s'agit de caractériser des classes d'objets exceptionnels, de concevoir des outils pour les traiter, de reconnaître une structure ...

Groupes d'automorphismes

Participants : Thierry Berger, Pascale Charpin.

Reconnaître deux codes équivalents, reconnaître un code destructuré par permutations, accélérer certaines procédures de décodage, tous ces problèmes relèvent de l'étude des automorphismes des codes - i.e. des transformations isométriques conservant le code. Les chercheurs du projet ont obtenu des résultats importants dans ce domaine. Les plus marquants sont : la détermination du groupe de permutations des codes BCH primitifs et un nouvel algorithme de preuve de l'équivalence de deux codes linéaires binaires.

Utilisant les travaux de Delsarte (1969) et l'approche combinatoire des codes affine-invariants, due à P. Charpin (1987), T. Berger et P. Charpin ont pu mettre en place une série d'outils, algorithmiques ou combinatoires, permettant de déterminer effectivement les groupes de permutations. Ce travail, qui donne comme principale application le groupe de permutations des codes BCH primitifs, a été présenté dans plusieurs colloques internationaux. Un article complet est paru fin 1996 sous forme de regular paper dans IEEE Transactions on Information Theory [2] . Les groupes d'automorphismes des codes BCH, définis sur une extension de corps, sont décrits dans [15].

D'autre part, T. Berger s'est intéressé aux groupes d'automorphismes des codes alternants. Ces codes sont des sous-codes des codes de Reed-Solomon généralisés et contiennent les codes de Goppa classiques. Il a montré qu'il existe quatre classes de codes alternants cycliques et que parmi ceux-ci certains sont des codes de Goppa [34].

Codes équivalents.

Participants : Gintaras Skersys, Nicolas Sendrier.

Deux codes sont équivalents par permutation s'il existe une permutation des coordonnées de l'un le transformant en l'autre. Le problème de décision associé a été étudié récemment par Petrank et Roth qui ont montré qu'il n'était pas NP-complet, mais était, en revanche, au moins aussi dur que le problème de décider de l'équivalence entre deux graphes. Trouver un algorithme efficace pour résoudre le problème de l'équivalence des codes présente donc un intérêt certain.

N. Sendrier a conçu et mis en oeuvre un nouvel algorithme, permettant de tester l'équivalence de deux codes linéaires donnés. Cet algorithme est capable de décider, dans presque tous les cas, de l'équivalence (par permutation) de deux codes à partir d'un invariant ( i.e. une propriété d'un code invariante par permutation du support). Cet invariant devra pouvoir se calculer en temps polynomial, et devra être discriminant, c'est-à-dire prendre souvent des valeurs distinctes pour deux codes non équivalents. La difficulté consiste à faire fonctionner l'algorithme lorsque souvent n'est pas très proche de tout le temps (par exemple une fois sur deux).

Cet algorithme, dit algorithme de séparation du support (support splitting algorithm) utilise les invariants du Hull - i.e. intersection d'un code avec son dual. L'énumérateur des poids du Hull d'un code est un invariant facile à calculer sauf pour une proportion exponentiellement faible de codes et fournit une discrimination suffisante pour décider de l'équivalence de deux codes et pour retrouver la valeur de la permutation.

Un article, décrivant cet algorithme dans un cadre plus général vient d'être accepté ; il s'agit d'un regular paper à IEEE-IT [30] (voir aussi [53]). Les diverses applications possibles de l'algorithme, en relation avec la solidité de certains cryptosystèmes sont présentées dans 4.2.1.

Dans le cadre de sa thèse, G. Skersys a étudié avec N. Sendrier les algorithmes de calcul des groupes d'automorphisme des codes linéaires. Il a obtenu des améliorations importantes des algorithmes connus dans ce domaine [51,72].

G. Skersys a soutenu sa thèse en Octobre 99. Il y présente, en outre, une étude précise du Hull des codes cycliques [12].

Codes de Goppa

Participants : Thierry Berger, Francis Blanchet, Grégoire Bommier, Pierre Loidreau.

Les codes de Goppa binaires sont souvent dits quasi-aléatoires -- i.e. très ``proches'' des codes aléatoires. On dispose d'un algorithme efficace de décodage des codes de Goppa. C'est pour ces raisons qu'ils sont utilisés dans certains cryptosystèmes et qu'ils assurent une meilleure sécurité pour les transmissions par un canal bruité. D'autre part leurs propriétés, combinatoires ou algébriques, sont liées aux propriétés générales des polynômes sur les corps finis (en caractéristique 2), et ceci de façon plus évidente que pour n'importe quels autres codes.

Les familles de codes décrites ci-après constituent des classes de clés faibles du cryptosystème de McEliece (voir 4.2.1).

T. Berger a effectué une étude extrêmement fine des groupes de permutations des codes de Goppa afin d'identifier des structures particulières. Ses résultats sont importants, prolongeant notamment les travaux de H. Stichtenoth. Il obtient de nouvelles familles de codes de Goppa cycliques ou d'extension cyclique. Il exhibe des codes de Goppa non cycliques dont le sous-code de poids pair est cyclique. Beaucoup parmi eux sont quasi-cycliques et ont des paramètres inconnus pour des codes quasi-cycliques. Certains atteignent les meilleures bornes connues pour des codes linéaires (voir [16,17,34,60]).

P. Loidreau a construit des nouvelles familles de codes dérivés de codes de Goppa possédant certains invariants. Des bornes en distance et en dimension des codes de Goppa, on peut déduire des bornes en distance et en dimension des codes dérivés [48,68].

L'intérêt de cette nouvelle famille de codes est de représenter presque parfaitement les codes de Goppa dont ils sont issus, tout en étant de longueur et de dimension bien plus petites.

F. Blanchet et G. Bommier ont démontré que certaines contraintes explicites sur les paramètres, induisent la quasi-cyclicité d'un code de Goppa [18].

Codes sur un module de type $\bf Z$/p$\bf Z$

Participant : Claude Carlet.

L'introduction par Hammons et al. (1993) de la notion de code $\bf Z_{4}^{}$-linéaire a ouvert un pan complet de recherche dans le domaine des codes correcteurs d'erreurs. Il n'existait pas jusqu'à présent de généralisation de cette notion à celle de code $\bf Z_{2^k}^{}$-linéaire. C. Carlet a introduit récemment une telle généralisation. Il en a déduit de nouveaux codes, qui généralisent les codes de Kerdock et de Delsarte-Goethals [24].

C. Carlet a également caractérisé les codes $\bf Z_{4}^{}$-linéaires dont les mots non nuls sont tous de même poids et établi une borne supérieure et une borne inférieure sur leur distance au code de Reed-Muller d'ordre 1. Cette distance joue un rôle important en cryptographie [40].

Enfin, il a poursuivi l'étude des codes de Kerdock du point de vue de leur $\bf Z_{4}^{}$-linéarité [41].

Codes lexicographiques

Participant : François Laubie.

F. Laubie poursuit l'étude des codes lexicographiques, codes produits itérativement à partir d'un alphabet donné. Dans [65], il construit des codes de type Greedy qui sont naturellement linéaires, quelle que soit la caractéristique du corps constituant l'alphabet.

Codes cycliques et trinômes sur un corps fini

Participants : Pascale Charpin, Pierre Loidreau.

P. Charpin, en collaboration avec A. Tietäväinen (université de Turku) et V. Zinoviev (IPPI, Académie des Sciences de Moscou) s'intéresse aux codes cycliques de grande dimension. Il s'agit de jeter les bases d'une classification des codes engendrés par deux polynômes minimaux. Les objets étudiés sont fondamentaux, apparaissant dans de nombreuses applications où interviennent des séquences, des fonctions booléennes ou bien dans la problématique du logarithme discret. L'article le plus récent traite des codes définis sur des corps de caractéristique impaire [26].

Les problèmes abordés ici relèvent de la théorie des corps finis. Précisément la détermination des mots de petit poids des codes étudiés est obtenue en factorisant des classes de polynômes lacunaires. Il s'agit notamment de trinômes. Dans ce contexte, P. Loidreau a étudié les trinômes ternaires. Il a introduit des conditions d'existence de trinômes, sur le corps d'ordre 3, irréductibles et primitifs [49].

L'étude des codes cycliques primitifs est étroitement liée à l'étude de certaines suites binaires ou encore des permutations utilisées dans le chiffrement par blocs. Les travaux des chercheurs du projet sur ce thème, notamment les résultats récents de A. Canteaut et P. Charpin, sont décrits plus loin, 4.4.

Théorie des nombres, algèbre finie

Participants : François Laubie, Dominique Le Brigand.

F. Laubie a montré que l'addition des entiers en base p sans retenue est récursive [29]. Ce résultat n'était connu que pour p = 2 ou 3.

F. Laubie étudie d'autre part les groupes de Lie p-adiques compacts qui sont des groupes de Galois locaux. Étant donné un groupe de Lie p-adique G et une extension finie K du corps des nombres p-adiques, il a montré qu'il n'existe qu'un nombre fini de filtrations de G susceptibles d'être les filtrations de ramification des extensions totalement ramifiées de K, de groupe de Galois G [28].

Pour les corps de nombres, E. Brown et C. J. Parry ont déterminé toutes les extensions bicycliques biquadratiques imaginaires dont l'anneau des entiers est principal. Avec Y. Aubry (Université de Caen), D. Le Brigand a résolu le problème analogue pour les corps de fonctions dans le cas de la caractéristique 2 (le cas de caractéristique impaire avait été fait par X.-K. Zhang précédemment) [13].